46 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithfmtica. 



370. Observari etiam meretur, ex formis k rq -i- km -+- i semissem excludi tam pro residuo 

 -t-r^ quam — r, quorum divisores pro hac forma sunt communes. At ex forma krq-t-km — I 

 scmissis valet pro residuo -^ r, alter pro residuo — r, ct qui divisores pro altero residuo valent, 

 pro altero excluduntur. 



Caput XI. 



De residuis, ex divisione cuborum per numeros primos natis. 



371. Divisore primo existente d = 2p-\-i, quod residuum relinquit cubus a^, idem relinquent 

 etiam bi cubi {a-t-dy, (rt-t-2d)', etc. et generaliter {a-t-ndy, ex quo sufQciet eos tantum cubos 

 considerasse, quorum radices sunt ipso d minores, qui sunt: 



i, 8, 27/6^^,...(d~^)^ (d — 3)^ {d — 2y, (d-1)'. 



372. Sit r residuum, quod horum cuborum quicunque, a^, relinquit, et manifestum est cubum 

 {d — «)* relicturum residuum — r, seu d — r. Quarc si inter residua cuborum occurrat numenis 

 quicunque r, ibidem quoque occurret ejus negalivum — r, seu d — r, quod illius complementum 

 vocatur. 



373. Sint" 1, «, /3, y, 8, etc. residua ex divisione cuborum per numerum primum d=^2p-+-i 

 orta, quorum si omnla a se invicem fuerint diversa, numerus erit =d — 1; ideoque omnes numeri 

 ipso d minores ibi occurrent. Sin autem qui numeri bis vel pluries occurrant, inde quidem numeri 

 excludentur inter non-residua referendi. (*) 



37^. Investigaturi, an fieri possit, ut idem numerus r inter residua bis occurrat? ponamus ex 

 cubis a^ et 6', quorum radices a et 6 sint ipso divisore d minores et inaequales, idem residuum r 

 resultare, atque eorum difTerentia b^ — a^={b — a) {aa -\- ah -+- hh) per d erit divisibilis. Cum 

 autem, ob d primum, ad eum factor 6 — a sit primus, necesse est alterum factorem aa-\-ah-t-hb 

 csse divisibilem per d. 



375. At si cubus W idem praebeat residuum ac cubus a*, cuivis alii cubo c^ respondebit 

 cubus e', idem quoque atque ille residuum relinquens. Si enim cubi a^ et 6' idem residuum prae- 

 beant, etiam hi a^x^ et h^x* ad minimos valores reducendo, seu {ax — mdy et {bx — ndy idem 

 producent residuum. Quia vero a et d sunt numeri inter se primi, semper x et m ita accipere 

 licet, ut ax — md dato numero c aequetur, hincque erit e = hx — nd, diversus ab c et ipso d 

 minor; si enim esset e = c, foret ax — md = bx — nd, hincque {a — b) x divisibile per d, at nec 

 a — b nec x est divisibile. 



376. Statim erg-o atque unum rcsiduura bis occurrit, omnia bis occurrent; ideoque multitudo 

 diversorum residuorum ad semissem deprimitur. Hoc autem evenire nequit, nisi divisor d sit divisor 

 talis formae aa -t- ab -i- hb , existentibus a ct 6 ipso d minoribus. Sin autem non fuerit divisor talis 

 formae , omnia residua erunt diversa eorumque multitudo = d — 1 = 2p. 



377. Praebeant cubi a' et 6' idem residuum r, ita ut a'^-+-ah~t-h'^ sit divisibile per d, critque 

 etiam 3a^-t-3a'^b-¥-2ab'^ per d divisibile, auferatur a^ — b^, ut habeatur 



(*) In bis residuis occurrunt oranes cubi ipso d^ minores, ad minimos valores reducli, tum etiam producla 

 e\ binis, ternis, etc. 



