Tractafus de numerorum doclrina Cap. 11. 47 



;2a*-f- 3«^6-H 3tf6^-+- 6^= a"-H (a -«- 6)' 

 per d divisibile. Quia ergo a' rolinquit r, relinquet cubus (a-i-6)' rcsiduum — r, hincque cubus 

 hic {d — a — 6)', vel (2d — a — 6)* dabit rcsiduum -h r. 



387. Statim ergo ac duo habentur cubi a^ et 6^, idem residuum r relinquentes, dabitur quoquc 

 tertius (d — a — 6)*, vcl (2d — a — 6)* idem residuum relinquens, cujus radix minor quam d ab 

 utraque praecedentium a et 6 erit diversa. Neque enim esse potest d — a — 6 = 0, neque 

 2d — a — b = a ; foret enim h = d — 2a, vel b = 2d — 2a , ideoque 6^ relinqueret rcsiduum 

 — 8«^, vel — 8/\ Quia vcro per hypothesin relinquit r, haccque duo rcsidua r et — 8r aequi- 

 valcntia essc ncqucunt, ob differcntiam =9r non divisibilcm pcr d, practcr casum d=3, qui per 

 se cst perspicuus, scquitur duo rcsidua aequalia semper tertium assumcrc. 



379. Si crgo duo cubi a^ et 6^ idem praebeant rcsiduum /•, dabitur co ipso tertius c' idcm 

 residuum cxhibcns, cujus radix ita cst comparata, ut summa omnium a-*-6-i-c sit vel =d, vcl 

 = 2d, ob c = d — a — 6, vel c = 2d — a — 6, quia singulac sunt minorcs quam d. Sicque cx 

 duobus scmper facilc rcpcritur tertius. 



380. Hinc autcm colligere licct, infra cubum d' plurcs tribus cubis «', 6', c^ nuuquam dari, 

 qui idem rcsiduum rclinquant; si cnim darctur quartus ab iis divcrsus e^ ctiam hi: 



(Xd — a — ef, {ld--b — e)\ (ld — c — e)\ 



idcm praebercut rcsiduum, forcntquc a pracccdcntibus diversi. Nam si esset Xd — a — e=b, forct 

 a-\-b~*-e divisibile pcr c?, idcoque e = c, contra hypothesin; non solum ergo quatuor, sed adeo 

 septcm haberemus cubos idcm residuum dantes. 



381. Hinc autem, binis combinandis, dcnuo plurcs clici posscnt cubi ipso d^ minorcs, idem 

 rcsiduum relinqucntes, ita ut tandem omnes cubi cssent prodituri. Cum autem conccsso uno rcsiduo 

 r, aliud detur diversum — r, manifestum cst non plures tribus dari cubos ipso d^ minorcs, qui idem 

 residuum exhibcant. 



382. In serie ergo residuorum 1, u, /3, y, etc. , quorum multitudo cst =d — 1=2/), vel 

 omnia sunt inaequalia, vcl tcrna inter sc acqualia; quod posterius fieri ncquit, nisi 2p sit numerus 

 per 3 divisibilis. Quare si p non divisibilc sit per 3, certum est omnia residua intcr sc forc 

 inaequalia, idcoquc omnes numeros ipso d minorcs in rcsiduis occurrere. 



383. Cum omnes numcri primi, exceptis 2 et 3, in alterutra harum formularura 6g -i- 1 et 

 6g — i contineantur, si divisor primus sit 67 — 1, in residuis omnes numcri ipso minores occurrunt, 

 neque ulla dantur non-residua. Sin autcm divisor sit 6g-i-l, fieri potest, ut multitudo rcsiduorum 

 diversorum sit tantum 2g, sicque kq dcntur non-residua. 



384-. Vidimus autcm praetcrea hunc ultimum casum locum habcrc, si divisor sit talis formae 

 aa-i~ab-^bbf unde patet, ut supra jam animadvertimus, talcm formam alios divisores primos non 

 admittere, nisi formac Qq-t-i. At quadruplum illius kaa -t- kab -t- kbb = {2a -t- b)^ -^ ^b"^ redit 

 ad hanc formam aa -1-366, cujus divisores primi illa insigni proprielatc gaudcnt. 



385. Quaerendi crg-o ii sunt divisorcs quadratorum, qui pro rcsiduo rclinquunt — 3, vcl — 366, 

 qui supra observati sunt (3^1j in his duabus formulis l^qfH-i et i2g-i-7, ad hanc unam 6q-*-i 



