48 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Ariihmetica, 



redeuntibus, contineri, unde vicissim concludcre licet omnes numeros primos hujus formae Gg-f-t 

 illa proprietate praeditos esse; verum plena Imjus rei demonstratio adhuc desideratur. 



386. Hoc autem concesso, consequimur hanc propositionem: Quoties divisor primus fuerit formae 

 g^_4_l^ toties residua cuborum ab 1 ad 21 69' non omnia inter se sunt inaequalia, sed ob terna 

 aequalia, multitudo residuorum inaequalium tantum est 2g, eruntque reliqui numeri divisore minores, 

 quorum multitudo est kq, non-residua. Quoties vero divisor primus non est formae 69 -•- 1 , toties 

 omnia residua inter se sunt inaequalia, neque ulla daiitur uon-residua. ?■" *^ 



387. Tantum erg^o divisores primos formae Gg -+- 1 perpendi opus est, pro quibus multitudo 

 non-residuorum duplo major cst quam multitudo residuorum. Casus autem simpliciores evolvamus: 



388. Pro quovis ergo divisore primo formae 6g-i- 1 in residuis occurrunt omnes cubi eo 

 minores, deinde eorum complementa 6g, 6g — 7, 6g — 26, 67 — 63, etc. Porro etiam producta 

 ex binis. Tum vero etiam, si ibi sit quodpiam productum mn cum altero factore /w, ibidem quoque 

 alter factor n reperietur. 



389. Si enim a' relinquat /wn, et 6' relinquat /n, posito divisore ^q-^i = d, fieri potcst 

 a=fb — gd, ideoque f^b^ relinquet mn, at /16' etiam relinquit mn, sicque /"^6* — /16*, ac propterea 

 quoque f^ — n divisibile erit per d, seu /*' relinquet n. 



390. Si divisore primo existcnte d = 69 -1- 1 , inter residua cuborum occurrat numerus a, tum 

 «*^ — 1 erit pcr d divisibile. Unde residua, quae ex divisione progrcssionis geometricae 1, a, «*, 

 « , «* «'^^ per eundem divisorem oriuntur, convenient cum residuis cuborum. 



391. Vicissim autem ostendi debct si a^^ — 1 divisibile sit per divisorem primum 67-1-1, 

 numerum a certo inler residua cuborum occurrere, quod quidem si 2q non sit divisibile per 3, facilo 



