Tractatm de numerorum doctrina Cap. II. 49 



patet. Si enim sit 2^ = 3fc ± 1 , cum a*^=a*^~^ inter rcsidua cuborum occurrat, utpote unitati 

 aequivalens, ibidcm vero sit a*'^, ibidem reperiatur a necesse est. 



392. Suporest ergfo, ut ostcndalur, si sit 2q=3k el a^^' — 1 dividi qucat per 6qf-i- 1=9^-4-1 

 tum a fore inter rcsidua cuborum (*) ; «*' ibi quidem ccrte reperitur utpote cubus, sed inde demon- 

 stratio peti dcbet, quod rcsiduum a^ unitati aequivalcat. 



393. Verum cum residua potcstatum 1, a, a^ a', etc. diversa, sint numero 2g, pariter atque 

 in residuis cuborum| ct ambo ordines incipiaut ab unitate ct communes habeant terminos a*, a^, 

 «', etc. , tum vero rcliquae proprictatcs ipsis sint communes, ordo potestatum nullos terminos ab 

 altero divcrsos contincre potcst. 



39^1'. Si autcm ad non-residua cuborum, pcr numerum primum Gq-t-i divisorum, attendamus, 

 id quidem certum cst, si mn sit rcsiduum, at m non-residuum, fore quoque n non-residuum. Non 

 vero vicissim omnia producta ex binis non-residuis praebent residuum: at omnia producta ex residuo 

 quocunquc in non-rcsiduum sunt uon-residua. 



395. Primo cnim quadrata singulorum non-residuorum quoque intcr non-residua continentur: 

 scilicct si J sit non-residuum, quoquc A"^ crit non-residuum, hoc vcro non-residuum ^^ per uon- 

 residuum J mulllplicatum certo dat rcsiduum, quia est cubus. 



396. Si cnim J"^ esset residuum, foret y^*^ — 1 divisibile per 6g-Hl; at cum A^^^ — i certe 

 sit divisibile, forct ctiam ^^^ — y^*^, hoc est J'*'^ — 1 divisibile, ideoque A essct residuum cuborum, 

 contra hjpothesin. Quarc si AJ sit residuum, etiam A erit residuum, et contra si J sit non- 

 residuum, crit quoquc JJ non-rcsiduum. 



397. Si ergo divisore primo cxistcnte =6^-i-l, residua cuborum sint 1, a, ^, y, 5, etc. 

 atque unicum habeatur non-rcsiduum ^, primo omnes hi numeri ^^, ^«, ^^^, ^/, etc. dcinde 

 etiam isti J"^, A^^a^ ^^/5, ^^7, ctc. erunt non-residua, qui numeri cum omncs a se invicem sint 

 divcrsi, manifcstum est, quod jam dcmonstravimus, multitudinem non-rcsiduorum duplo esse majorem 

 quam residuorum 



398. Hinc etiam patet, si divisor primus sit 6g-f-l, tantum 2q rcsidua diversa locum habere 

 posse; si enim omncs numeri inter residua occurrcnt, in genere a^'^ — 1 esset per 69-Hl divisibile, 

 quicquid essct a<6g-i-i, quod cum sit absurdum, ideoque unum saltem datur non-residuum, eo 

 ipso hq non-residua sequuntur. 



399. Cum igitur ex unico non-residuo A obtineantur duo ordines non-residuorum, prior 

 A, Aa, Al3, Ay, etc. et postcrior A"^, A^^a, A^^, A^y, etc. uterque tot continens terminos, quot 

 ordo residuorum, producla ex binis ordinis alterutrius in altero ordine reperiuntur, et producta ex 

 binis utriusque ordinis fiunt rcsidua. 



400. Si adhuc dubitcraus, an hoc modo omnia non-residua ex uno obtineantur? sit B non- 

 residuum in neutro ordine contentum, et non-residua erunt tam B, Ba, B^ , By , etc. quam 



(*) Scrii^L admarg. Si enim a esset non-residuum, reliqua non-residua omnia, quae sunt a, aa, a/?, ay, a8. 

 el a*, a^a, a^^, a^y, elc. eadem proprietate gauderent, ul eorum potestates exponentis 2^, unitale minutae^ 

 essent divisibiles per 65-1-I ; ergo omres numeri hanc haberent proprielatem, quod esset absurdum. 



I.. S a 1 e r i Op. poslhnma. T. I. 7 



