50 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Arithmetica. 



//*, i?^«, 5^/?, i5*/, etc. utrobique totidem numero, quot daiitur residua, et omnes lii numeri a 

 praecedenlibus erunt diversi. Praeterea vero vel AB, vel AB^ non erit residuum; altero certe 

 existeote residuo, altero non-residuo. (*) 



4-01. Si AB non est residuum, binos ordines non-residuorum ita repraesentare poterimus: 



Ordo prior: A, Aa, Af^, Ay, etc. B, Ba, B/3, By, etc. 



Ordo posterior: A"-, A^-a, A" jS , A^-y, etc. 5^ B^a, fi^, ^V, etc. 



et quivis numerus ordinis prioris A, per quemlibet poslerioris multiplicatus, pracbet residuum, et 

 quidefn per quemlibet diversum; unde plura residua prodirent, quam revera sunt, quod esset absurdum. 



4-02. Cum ergo ex divisore primo 69 -h 1 tantum 2q residua existant, dato quovis cubo «*, 

 dabitur alius 6*, minor quam (Ggn-l)', quorum difFercntia per 67-t-l erit divisibilis, ideoque 

 ad -¥~ ab -+-bb per eum quoque erit divisibilis. Omnis ergo numerus primus 6g -*- 1 est divisor 

 talis numeri aa-*-dbb, vel talis aa-f-3, vel 3aa-i-l. = «!Hiid 



403. Speciminis loco sit divisor 373, et tam residua cuborum, quam non-residua utriusque 

 ordinis ita se babebunt: 



Residua 



'yivm 



r.-V 



Non-residua 



Ordinis II. ± 



h, 6, 9, 10, 11, 15 



25, 28, 29, 32, 37 



h2, k3, k8, 52, 63 



68, 70, 71, 72, 73 



76, 77, 78, 79, 80 



88, 92, 94^, 102, 103 



105, 106, 108, 11/1-, 117 



118, 120, 122, 12?t, 127 



130, 131, 132, 138, Ul 



ik3, H9, 153, 159, 162 



l^^i^, 166, 170, 171, 173 



175, 177, 178, 180, 183 



186. 



numero = l^^i-. 



kOk, Cum igitur divisore primo existente 6g -4- 1 , multitudo non-residuorum duplo major sit 

 quam multitudo rcsiduorum, etiam pauciores erunt divisores, pro quibus datus numerus inter residua 

 contineatur. Ita datus numerus a erit residuum , si divisor fuerit factor talis formae a?^ it: ay^, vel 

 etiam talis x^z*zaay^; si enim sit x^zt:ay^=dn, cubus x^ per d divisus residuum dat ay^, sicque 

 etiam a crit in residuis. 



(*) Script. ad nxarg. Demonstrari debet, ambo simul non esse posse non-residua. Si AB est non-residuum, 

 vel in ordinc -4, vel B, vel A"^, vel B^ continelur. At singula sunt absurda, ergo esset AB residuum. 



