Tractatus de mmerorum doctrina Cap. 1 1 . 



51 



^05. Quaeri ergo debent numeroriini x^dt ay^ divisores primi, et pro nostro quidem instituto 

 ii tantum, qui simul sunt formae 6q-t~i. Hoc modo posito a = 2, binarius inter residua rcpe- 

 rietur, quoHes divisor formae 69 -f- 1 fuerit numerus bujus seriei: 



31, 43, 109, 127, 157, 223, 229, 277, 283, 307, 397, 433, 439, 457, 499, 601, 643, 691, 727, 

 733, 739, 8il, 919, 997, 1021, 1051, 1069, 1093, etc. 



406. Si ergo sit 6n-i-l talis numerus, tam 2 quam 2^ erit residuum; tum 2^^" — 1 per eum 

 erit divisibilis, ideoque vel 2" — 1, vel 2"-+- 1. At si 6/1 -t-1 fucrit vel formae 8m-*-l, vel 

 8/7J-+-7, hoc est vel /i = 4m, vcl n = hm -t- i , tum etiam 2^" — 1 per 6/n- 1 est divisibile; 

 unde patet his casibus, quibus n vel 4/w, vel km~+-i, fore 2" — 1 per 6/1 -t-l divisibile; casibus 

 autera, quibus n est vel 4//I-4-2, vel 4/7»-f-3, non 2" — 1, sed 2"-!- 1 per 6/1 -i- 1 divisibiie erit. 



407. Ita superiores numeros huc transferendo 



divisibile est 



,2^0 — 1 et 2' - 

 2^* — 1 « 2' -4 



per 

 31 



43 

 109 

 127 

 157 

 223 

 229 

 277 

 283 

 307 

 397 

 433 

 439 

 457 



2»« _ 1 « 2'^-h- 



2" — 1 « 2'^ — 



2*» — 1 „ 2^' -4- 



2'* — 1 « 2^' — 



2'6 _ I « 2^'-^ 



23^ — 1 « 2*«-f- 



2«* _ 1 « 2"-i- 



2*02— 1 „ 2^'-i- 



2»»^— 1 « 2'^-h- 



2^**— 1 « 2'^-- 



2»"— 1 « 2"— 



2*5^— 1 « 2''— 



408. Si hos divisores, quibus binarius pro residuo convenit, attentius perpendamus, observa- 

 bimus eos omnes resuitare ex hac forma 21pp-v-qq, quoties ea fuerit numerus primus; verum hanc 

 observationem demonstratione confirmare nondum licet. 



409. Si eos divisores primos formae 6^ n- 1 quaeramus, quibus inter residua 3 conveniat, 

 eos reperiemus: 



61, 67, 73, 103, 193, 307, 367, 439, 577, 1021, etc. 



qui, si conjecturae locum relinquamus, in forma ^pp -+- qq conlinentur, si fuerit vel p = dn, vel 

 p^-q=^ 9/1. 



410. li autem divisores primi formae 69-t-l, qui in residuis cuborum habent 5, reperiuntur 

 ex forma x^±^y^, cujus divisores esse debent 13, 67, 127, 181, 199, 241, 487, 739, etc, quos 

 in forma ^pp -*- qq sub his conditionibus contineri observamus: 1) si /)=15/j, 2) si p = dm et 

 q = 5/1 , 3) si /) ziz g = 1 5/1 et 4) si /) itz 2g = 1 5/i. 



