52 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Artthmettca. 



Ml. Si inter residua occurrere debeat 6, divisores reperiuntur 



7, 37, 139, 163, 181, 2M, 307, 337, 3W, 379, 631, 727, 751, 997, etc. 

 qui in forma ^pp-*-(]q contineri deprehenduntur, si fuerit vel/) = 9/i, vel 2/) zt g = 9ai. Harum 

 autem observationum veritas tantum conjecturae innititur, neque inductione ulterius commode pro- 

 gredi licet. (*) 



Caput XMM.» 



De residuis, ex divisione biquadralorum per numeros primos ortis. 



M2. Si divisor primus sit d, quod residuum a biquadrato a* relinquitur, idem non solum a 

 biquadratis (d-i-a)*, (2d-+-a)*, etc, sed etiam a {d — a)* relinquitur, unde si d = 2p-+-i, plura 

 quam p residua diversa resultare nequeunt. 



413. Si residua sint 1, cf, /5, y, 5, etc, quorum multitudo major esse nequit quam /), in iis 

 occurrent omnia biquadrata, ad jninimam scilicet formam reducta, quae insuper hac gaudebunt pro- 

 prietate, ut producta ex binis in iisdem reperiantur. 



kik. Haec ergo residua nascuntur ex biquadratis 1, 16, 81, 256, .../)*, quae utrum pro dato 

 divisore primo 2p-i-l omnia inter se futura sint diversa, nec ne? diligentius inquiri convenit. 



4-15. Ac primo quidem patet, si unum bis occurrat, scilicet ex biquadratis a* et 6*, tum ob 

 b* — a* per d = 2p-i-i divisibile, fieri poterit h = md±na^ unde et /i*a* — a* erit divisibile, 

 sicque etiam /i* — 1. Tum ergo quoque c* et /i*c* paria producent residua, singulaque residua bis 

 occurrent. 



M6. Si ergo d sit divisor formulae 6* — a*, sumtis a et 6 minoribus quam \d^\ ideoque 

 fonnulae 6^-f~a*, quia neque 6 — a, neque 6-i-a per eum divisibile esse potest, tum singula residua 

 bis occurrent. Contra vero, si non sit factor talis formae 6*-i-a'^, omnia residua erunt diversa. 



4-17. At pcr § 279 omnes divisores primi formae bb-t-aa in forma kq-i-i continentur, quare 

 si divisor propositus fuerit formae hq — 1, ex divisione biquadratorum certe 2q — 1 diversa residua 

 emergunt, tolidemque habebuntur non-residua, neque plura. Quos casus primum evolvamus. 



kiS. Sit ergo divisor primus kq — 1, et residua diversa ex biquadratis oriunda 1, a, /?, y, f\ etc, 

 quorum numerus erit 2q — 1, non-residua autem sint ^, B, C, D, etc totidem numero. Ac primo 

 patet, si A fuerit non-residuum, etiam ^a, y4,S, Ay fore non-residua. Si cnim ^a* esset residuum, 

 ex biquadrato 6* ortum, foret b* — Aa'^ per d divisibile. At est b=madbnd, unde et m*a* — Aa*, 

 ideoque /w* — A esset divisibile per d, et m* relinqueret A, contra hypothesin. 



419. Haec proprietas adeo ad omnes divisores extenditur, ita ut semper productum ex residuo 

 in non -residuum sit non-residuum. At productum ex duobus non-residuis, AB, si quidem divisor 

 primus sit kq — 1, certe est residuum; si enim esset non-residuum, conveniret cum termino Aa*, 

 ita ut Aa* — AB, ac proptcrea a* — B per d esset divisibile, contra hypothesin. 



(*) Script. ad marg. Ut 7 sit residuum divisorque ^pp-i-gg, debet esse vel p = 'im et g=7n, vel p±gz=2\n, 

 vel h-p±g=ln, vel p=2im, vel p±2g=7n. — Ut 10 sit residuum, pro divisore ^pp-i-gg debet esse 

 \e\p = 5n, vel g=5n. 



