Tractatus de numerorum doctrina Cap. 12. 53 



420. Hoc ergo casu, quo divlsor est =hq — 1, residua biquadratorum eadem praedita sunt 

 proprietate, atque residua quadratorum, quin etiam cum iis plane convenirent pro eodem divisore. 

 Omnia enim residua biquadratorum in residuis quadratorum continentur, et cum multitudine sint 

 paria, prorsus eadem sint necesse est, unde hic de rcsiduis et non residuis eadem valent, quae 

 supra exposuimus. 



421. Sit jam divisor primus 4g-f- 1, et residua 1, «, /9, y, 5, etc. omnia hanc habent pro- 

 prietatem, ut a^ — 1 divisibile sit pcr hq-^\. Haec quidem residua etiam continebuntur in resi- 

 duis quadratorum pro eodem divisore 4g-i- 1 ; at vicissim, non omnia residua quadratorum simul sunt 

 residua biquadralorum, quod ita ostenditur. 



422. Quodvis residuum quadratorum per x^ potest repraesentari , quod si esset residuum biqaa- 

 dratorum, foret je^^ — 1 divisibile per kq-\-\, denotante x numerum quemcunque minorem divisore; 



nempe 1^^— 1, 2^^— 1, 3^^— 1, 4^^— 1, (2g)^9— 1 dividi posscnt per 4g -♦- 1 , quod cum 



fleri nequeat, non omnia quadrata in residuis biquadratorum occurrunt. 



423. Si x^ in residuis biquadratorum non occurrat, ibidem non occurrent quoque acc^, /^a;*, 

 yx"^^ dx^^y etc, quae cum sint residua quadratorum, patet in residuis quadratorum, quorum multitudo 

 est 2q, tot ad minimum esse non-residua biquadratorum , quot fuerint residua biquadratorum ; unde 

 patet multitudinem rcsiduorum biquadratorum vel esse =q, yel adhuc minorem, quod posterius 

 autem fieri nequit. 



424. Quo haec facilius evolvere liceat, divisores simpliciores formae 4g -i- 1 examinemus, et 

 tam residua quam non-residua biquadratorum consideremus: 



29 



1, 16, 23, 24, 20, 7, 25 



2, 3, 17, 19, 11, 14, 2! 

 4, 6, 5, 9, 22, 28, 13 

 8, 12, 10, 18, 15, 27, 26 



425. Ex his exemplis videmus numerum residuorum esse = q, quem jam demonstravimus 

 majorem esse non posse. Non-residuorum numerus triplo est major, quae in ternas classes distinximus, 

 cum cujusvis classis numeri peculiaribus proprietatibus g-audeant. 



426. Has tres classes commodissime ita constituere licet: cum dentur quadrata in residuis non 

 occurrentia, sit xx tale quadratum; et certum est neque x, neque x^ in residuis reperire posse. Si 

 ergo residua sint 1, a, /?, y, d, e, etc. temae non-residuorum classes erunt: 



I. X, ax, ^x, yx, dx, etc. 



II. x^, cex"^, Bx^, yx^, dx^, etc. 



III. x^, ax^, /3x^, yx^, dx^, etc. 



