54 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



\21. Quaevis classis tot continet terminos quot sunt residua, et omnes termini harum classium 

 sunt a se invicem diversi. Ejusdem quidem classis termini manifesto sunt diversi; diversitas autem 

 terminorum in diversis classibus ita ostendetur. 



428. Si ax aequivaleret ipsi /^cc^, foret /Sx^ — ax, ideoque I3x — « per \q-v-{ divisibile, unde 

 cum u sit residuum, /?£c quoque esset residuum ipsi aequivalens, quod esset absurdum. Simili modo 

 si ax^ vel ax^ conveniret cura /?cc', foret vel a — (3x^^ vel a — ^x divisibile per hq-\- i, ideoque 

 ;5a?% vel ^x in residua transiret, contra hvpolhesin. ii^ ^ 



429. Hinc si numerus residuorum sit ==n, numerus non-residuorum erit 3/i, vel saltem non 

 erit minor quam 3n. Ac si in tribus memoratis classibus omnia non-residua contineantur, necesse 

 est sit multitudo tam residuorum quam non-residuorum junctim sumta =hq, ideoque n = q. 



430. Ilis classibus ita ut fecimus dispositis , manifestum est producta ex binis non-residuis tam 

 primae quam tertiae classis in classe secunda contineri; deinde vero producta vel ex binis terminis 

 secundae classis, vel ex termino primae in terminura tertiae in ordinem residuorum transgredi. 

 Productum autem ex termino primae in terminum secundae classis reperitur in tertia classi, at pro- 

 ductum ex secunda classe in tertiam reperitur in prima. 



431. Hinc intelligitur neque in prima, nequo in tertia classe numerum quadratum locum habere 

 posse, quoniam is in se ipsum ductus foret residuum. Sola ergo secunda classis continet quadrata, 

 et quoniara residua etiam ut quadrata spectari possunt, multitudo omniiim quadratorum est = 2n. 



432. Si secunda classis cum residuis omnia quadrata complectatur, quae ut residua diversa 

 respectu divisoris kq-i-i spectari possunt, quorumque nuraerus est =2q, ut in residuis quadratorum 

 vidimus, ob 2n = 2q, idcoque kn = kq, omnes numeri ipso divisore minores habentur, neque ulla 

 dabuntur non-resiJua in nostris tribus classibus non contenta, eritque n = q. 



433. Si ergo quis dubitet, an in nostris tribus non-residuorum classibus omnes occurrant 

 numeri, qui non sint residua, hoc dubium tolletur, si ostendamus nullum dari quadratum non- 

 residuum, quod non in secunda classe coiitineatur. Si enim yy esset tale quadratum, inde statim 

 tres novae classes non-residuorum emergerent, foretque jam numerus non-residuorum =6/i, ac si 

 nunc non-residua essent completa, foret 7n = kq, 



434. Verum quod tale quadratura yy , tres novas classes non-residuorum post se trahcns, non 

 detur, ita ostenditur: Sint tres classes ex tali quadrato oriundae et prioribus adjiciendae 



IV. y, ay, ^y, yy , etc. V. y^^.ay"^, /?/', yy"^, etc. VI. y^, ay^, ^y\ yy\ etc, 



quarum singulae n terminos continebunt, ac duos casus examinari oportet, alterum quo xy esset 

 residuum, alterum quo esset non-residuum., 



435. Sit xy residuum, atque omnes termini classis quartae per x multiplicati, scilicet xy, 

 Qixy, ^xy, yxy, etc. numero n, erunt residua. Verum etiam omnes termini classis tertiae per x 

 multiplicati, scilicet x*, ax'^, ^x*, 72?*, ctc. sunt residua totidem numero, atque ab illis diversa; 

 nam si axy et /5ct* convenirent, forot ay — /?x* divisil^ile per divisorem, et ay caderet in classem 

 terliam, contra bypothesin. Prodirent ergo 2n residua diversa: quod cum sit absurdum, fieri nequit 

 ut xy sit residuum. 



