Tractatus de numerorum doctrina Cap. 1 2. 55 



436. Remoto ergo casu, quo xy est rcsiduum, ponamus xy csse non-residuum, et cum in 

 sex classibus omnia non-residua comprchcndantur, in una earum ocy occurrere deberet; sive autem 

 ponamus xy ipsi ax, sive a.x'*, sive ux^, sive «r, sive «j^, sivo «j* aequivalcre, sequeretur 

 absurdum, dum y vel csset residuum, vel in classem I, vel II non-residuorum caderct, vel etiam x 

 esset residuum, vel in classem IV, vcl V cadcret. 



4^37. Gum igitur sex classes non-rcsiduorum admitti uequeant, vel tantum tres sunt constituendae, 

 quod volumus, vcl plures quam scx. Quod posterius eveniret, si nondum omnia quadrata non-residua 

 in classe II et V occurrerent. Sit ergo zz non-rcsiduum in neutra liarum classium contcntum, et 

 ex eo rcsultabuut tres novae classes, singulae n tcrminis constantcs: 



VII. z, «z, /3z, etc. VIII. z% ai\ /3z\ etc. IX. r*, «2^ /3z^, etc. 



438. Nunc vero, ut § 435 ostendetur, ncquc xy, ncque xz, ncque yz csse posse residuum, quia 

 inde plura residua, quam revera sunt, sequerentur. Deinde si xy in quapiam sex primorum classium 

 continerctur, cadem incommoda orireutur, quae ante; ex quo xy in quapiam trium postremarum 

 classium esse deberet. Videamus ergo, num xy ipsi az aequivalere posset. 



439. At si xy ipsi az aequivaleret , xz, quia certe est non-residuum , vel ipsi /3y , vel ^y"^, 

 vel ^y^ aequivaleret; quare cum xy — az et xz — /3y^, denotante p vel I, vel 2, vel 3, essent 

 divisibiiia per 4</-*-l, foret z {xy — az) ■ — y {xz — /Sy'''), hoc est <6'j*~*"^ — az^ quoque divisibile, 

 sicque az'' acquivalcret ipsi /3y^~*~^, ideoque in alia classe contineretur, quod aeque esset absurdum. 



440. Sic igitur demonstratum est, si divisor primus fuerit kq-t-i, rcsidua diversa biquadratorum 

 forc numero —q, neque plura, neque pauciora, non-residua autem tribus classibus comprehendi, 

 quaium quaclibet constet q terminis. 



441. Quare cum residua diversa ex biquadratis 1, 2*, 3*, 4*, ...16g*, quorum multitudo est 

 = 2g, oriantur, bina dcbent esse aequalia, Hinc si a sit numerus quicunque minor quam 2q, 

 dabitur semper alius 6, et quidcm unicus pariter non major quam 2q, ut 6* et a* aequalia relinquant 

 residua, scu ut b^ — «* per 4^-4-1 sit divisibile. 



442. Cum autgm tam b — a quam b -+- a miuus sit quam hq -+- 1 , erit bb -t- aa per 4g -t- 1 

 divisibile. Hinc proposito numcro primo 4^ -i- 1 , sempcr summa duorum quadratorum aa -f- 66 per 

 eum divisibilis exhiberi potest, ita ut neutra radix superet 2q, et quidem altcrum quadratum pro 

 lubitu assumi potcst. 



443. Supra autem jam ostendimus summam duorum quadralorum aa-\-bb inter se primorum, 

 praeter binarium alios divisores primos non admittere, nisi formae 4n-4-l. Unde concludi posse 

 videtur, omncs numcros primos formae 4g-+-l ipsos esse summas duorum quadratorum, certe autem 

 vel 2{J\q-+~ 1), vcl 5(4g-+-l), vel 13(4^-f- 1) ctc. erit summa duorum quadratorum. 



444. Etsi jam evictum est, plura duobus biquadratis, quorum radices 2q non excedant, non 

 dari, idem residuum relinquentes, tamcn hoc ctiam seorsim demonstrari potest. Sint enim tres numeri 

 a, b, c, uon excedentes 2q, ut tam aa-t-bb, quam aa-i-cc et bb-t-cc per ^ -f- 1 essent divisi- 

 bilia, atque etiam difTcrentiae aa — cc, aa — 66, 66 — cc forent divisibiles. At cum neque a — c, 

 neque a-i-c per ftg-t-l dividi possit, productum quoque aa — cc dividi non potcrit. 



