56 L. EULERI OPERA POSTHIJMA. Artthmehca. 



^45. Nova ergo ratione demonstravimus, si divisor primus sit ftgn-l,' multitudineni residuorum 

 diversorum eX biquadratis oriundorum esse =q, neque minorem esse posse; unde non-residuorum 

 mullitudo erit 3q, in ternas classes supra memoratas distinguenda. 



kkQ, Rcsidua erg;o biquadratorum , quae sint 1, cc, /3, y, d, etc. ex divisore primo kq-i-i 

 oriunda, hanc habent proprietatem , ut a^ — 1, /5^ — 1, /^ — 1, etc. per eum numerum primum 

 kq-i-l divisionem admittant. Utrum autem omnia residua huic proprietati refragentur, nec ne? 

 videndum est. 



kk7. Sit XX non-residuum, et x atque x^ pariter erunt non-residua. Jam si (xxy — 1, seu 

 03*^ — 1 esset divisibile per kq -t- i , omnes termini ax"^, /?£c*, yx^, etc. eadem proprietate g-auderent, 

 qua cum per se gaudeant ipsa residua, omnia quadrata ab 1 usque ad kqq eadem proprietate 

 essent praedita. 



kkS. Omnibus ergo numeris ab 1 usque ad 2q ista conveniret proprietas, ut eorum potestates 

 exponentis 2q, per kq -i- i divisae, unitatem relinquerent; sicque omnes difFerentiae inter binos 

 terminos hujus seriei 1, 2*^, 3^^, ^^^. . . .(2^)^^ per ^g-i-l essent divisibiles, quod autem absurdum 

 esse jam supra ostensum est. 



kkd. Hisce conficitur id, quod erat propositum, scilicet si quadratum xx fuerit non-residuum, 

 tum aj*^ — 1 certe non esse divisibile per kq-t-i. Multo minus autem, cum x et x^ etiam sint non- 

 residua, hae formulae x'^ — i, vel a;'^ — 1 divisibilcs erunt per kq-t-i, unde patet si a^ — 1 

 divisioncm admittat per kq -t- i , tum numerum a necessario inter biquadratorum residua reperiri. 



450. Quando ergo potestas a^, per numcrum primum kq -i- i divisa, unitatem relinquit, tum 

 omnia residua, ex scrie potcstatum 1, a, a^, a^, a*, etc. orta, in nostris residuis biquadratorum con- 

 tinebuntur. Et vicissim, si a non sit rcsiduum biquadratorum, formula a^ — 1 certe non erit divi- 

 sibilis per kq-\- i. 



k5i. Si q sit numerus impar, inter residua non occurret numerus — 1, vel kq, quia 

 ( — ly — 1 certe per kq-t-i dividi nequit. Hoc ergo casu, si rcsidua sint 1, a, /3, y, 8, etc, 

 eorum negativa — 1, — a, — /3, — y, etc, seu kq, kq -*- i — a, kq-t-i — /?, kq-\-i-^y, etc 

 certe inter non-residua reperientur. 



452. Hinc sequitur, si q sit numerus impar, non dari duo biquadrata a* et t*, quorum summa 

 a*-h-b* esset per numerum kq-t-i divisibilis. Si enim residuum ipsi a* conveniens esset a, aitcrius 

 6* esset — a, quod autem fieri non posse modo ostcndimus. 



453. Contra autcm, si q sit numcrus par, intcr rcsidua biquadratorum certe occurrit — 1, si 

 enim esset non-residuum, non esset ( — i)'^ — 1 per kq-t-i divisibile. Cum igitur sit divisibile, 

 patet propositum, scilicet intcr residua biquadratorum simul singulorum negativa, seu complementa 

 contineri. 



454. Si ergo q sit numerus par et kq-i-i numerus primus, seu si 8^-4-1 sit numerus 

 primus, proposito quocunque biquadrato a*, aliud dabitur 6*, ita ut eorum summa a*-*-6* sit per 

 8^-4-1 divisibilis. Ita dato numcro a, scmpcr inveniri potest numorus x, ut biquadratorum summa 

 a*-*-cc* divisibiiis sit per 17, vel 41, vel 73, vel 89, vel 97, etc 



