58 L. EULERI OPERA POSIHUMA. Arithmettca. 



si diTiSOr sit formae Sp-t-5y quare 2*^ — 1 est divisibile per Sp-t-i, at 2*''"*"^ — 1 non est divisibile 

 per 8p-4-5, quare cum 2*'""^*-— 1 sit divisibile, ncccsse est sit 2*''"*"^-i- 1 per 8/)h-5 divisibile. 



461. Hinc cum forma kq-^-i ad 8/) -h 1 redeat, si q sit numcrus par, hoc casu 2"^^ — 1, 

 seu 4^ — 1 per 4g -f- 1 est divisibile, idcoque numcrus 4, ejusque etiam ncgativum — 4 inter 

 rcsidua biquadratorum rcperiri debet. At si q sit numcrus impar, quo casu 4(/-i- 1 ad Sp -*t 5 

 redit, erit 2^^-1-1, seu 4^-4-1, vel quod codcm redit ( — 4)'^ — 1 per kq-t-i divisibile; ita ut 

 etiam hoc casu — 4 inter residua biquadratorum occurrere dcbcat. 



462. Pro divisore ergo primo 4g-i-l, sive q sit numerus par, sive impar, in residuis 

 biquadratorum scmper rcperitur — 4, unde cum ob 1 etiam — 4^ adsit, quoque q adesse debet, 

 sicque aitera observatio pcr alteram conGrmatur. 



caput xm. 



De residuis, ex divisione surdesolidorum per irameros primos orlis. 



463. Si divisor sit d, et a^ reiinquat a, tum (d — ay relinquet — w, sicque omnia residua 

 nascentur ex his potestatibus 1, 2*, 3^ 4^...(d — 1)*, quae si omnia fuerint diversa, eorum nu- 

 mcrus esl = d — f . 



464. Sint 1, a, /?, /, ctc. omnia rcsidua divcrsa, et in iis occnrrent producta ex binis; quin 

 etiam si quod productum nm ibi adsit cum altcro factore m, etiam altcr n adcrit. Nam si mn 

 nascatur ex a^, et m cx 6*, ex n6* nascelur ctiam mn, erilque a* — nb^ divisibile por d. At fieri 

 potest a = fb±gd, ideoquo a* idem rclinquit residuum, quod f^b^, sic cum pb^ — nb^, ac 

 propterea p — n divisibile sit pcr d, in residuis erit n. 



465. Si in residuis est a, ibi erunt quoque d^, a^, a*, sed a* quidem scmper inest. Ffinc 

 vicissim, si in residuis sit a^, ibidem quoque erit a^=a^:a^; et ob a* quoque residuum, erit etiam 

 a residuum. Er^o quaecunque potestas a" (dum n non fuerit multiplum quinarii) fuerit residuum, 

 ejus omnes potcstatos a, a^, a^, etc. enmt simul residua. 



466. Sit //* multitudo rcsiduorum 1, a, /3, y, d, etc. pro divisore primo 2g-i-l, et si omnes 

 numeri divisore minores in residuis occurrant, erit m = 2q, ac talcs quidem casus dari mox patebit. 



467. Si fucrit m <i2q, dabitur numerus non-residuum, cujusmodi sit ^, hincque primo non- 

 residua erunt ^, Aa, A,3, etc. numero m; tum vero quia A"^, A^, A^ sunt non-residua, ex quoque 

 m nova obtinentur, ita ut unum non-residuum A involvat quatuor classes non-residnorum 



I. A, Aa, A/3, Ay, elc. III. -A^, A^a, A^^, A^y, etc. 



II. A^, A^a, A^/3, A^y, etc. IV. A\ A'a, A'/3, A*y, etc. 



468. Statim ergo atque unum non-residuum habctur, simul oriuntur 4m non-residua, qu.ic 

 si fuerint omnia, neccsse est ut sit m-+-km = 2q, ideoque 5m = 2g et m = -^i nisi ergo q 

 multiplum quinarii, non-residua adess;; nequcunt. 



469. At si praeter quatuor classes novum daretur non-residuum R, ex eo denuo quatuor 

 classes orirentur: 



I 



