Tractatus de numerorum doctrma Cap. 13. 59 



V. B, Bit, BS, By, etc. VII. fi*, »'«, ^/9, B^y, etc. 



VI. B\ £?»«, fiV, ^V» etc. VIII. B\ B'a, 5*/?, 5*/, etc. 



Jam sive /^B dicatur csse residuum, sive non-residuum, absurdum sequitur; unde omoia noii-rcsidu4 

 si quidem dantur, a quatuor prioribus classibus exhauriri nccesse est. 



^70. Gertum ergo est, quoties in divisore primo 2q-^i numerus q non fuerit multiplum quinarii, 

 toties omnes numeros in residuis occurrere, eorumque multitudinem esse = 2g. Neque ergo dantur 

 duo oumeri a et 6, minores quam 2^h- i, ut a' — 6* esset per 2q -t- t divisibile; hincque etiam 

 a* -4- a^ b -t~ aabb -*- ab^ -*- b* per nullum numerum primum 2g-4-l dividi potest, in quo q non sit 

 multiplum quinarii. 



4^71. Omnes ergo divisores primi numerorum hujus formae a*-i- a^6-+- a*6'^-H a6'-+- 6*, seu 

 hujus a* — 6*, excluso divisore a — 6, in hac formula iOp-+-i continentur, iique numeri nullo modo 

 dividi poterunt per ullum numerum in aliqua harum formularum 1 0/) h- 3 , 1 Op -i- 7 et 1 0/> -i- 9 

 contentum. 



^1^72. At si divisor primus sit iOpn-l, non omnes numeri in ordine residuorum occurrent, 

 si enim omnes occurrerent, foret x^^P — i semper divisibile per iOp-f-i, quicquid fuerit x, seu 



differentiae omnium harum potestatum 1, 2^^*, 3^^ 4^^ (2/)-i-if'° per iOp-^i essent divisibiles, 



cujus absurditas jam supra est ostensa. 



473. Quare si divisor primus sit iOp-i-i, numerus residuorum diversorum tantum est = 2p, 

 et 8p habebuntur non-residua, unde semper quini dabuntur numeri ipso lOp-i- i minores, a, 6, r, 

 d, c, quorum potestates quintae paria producunt residua. 



474. Scilicet proposito numero quocunque a, quatuor semper assignari possunt alii 6, c, rf, e, 

 singuli divisore iOp -*- i minores, ut per eum divisibiles sint 



hi numeri 

 6»— a* 



c* — a* 



d^— a« 



e' — a' 



Haec eadem demonstratio ad praecedentes potestates accommodari potest. 



475. Differentiae ergo etiam harum primae, a tribus sequenlibus, per eundem divisorem dividi 

 poterunt: hae autem differentiae, cum sint divisibiles per 6 — c, 6 — d, 6 — c, abeunt in has 



6»-H 6\ H- 6c^ H- c^H- a6*-i- a6c -i- oc^ -i- a^ -*- a V -^- «', 

 6'-*- 6^d -I- 6d*H- d^-+- a6*-*- a6d h- ad^-^- a*6 -t-a^^d-t- a\ 

 6'-i- 6*e -H 6e* -+- e' h- a6*-f- a6c -h ae^ h- aH -i- «V -<- a*, 



476. Porro vero harum differentias, sigillatim per c — d et c — e divisas, etiam per iOp-*-i 

 divisibiles esse oportet, quae sunt: 



