60 



L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Arithmetica. 



c*-i- cd -*- d*-»- hc-\-hd-\- 6^-i- ac 

 c*-»- ce -I- e* -I- hc -V- he -^ h"^ -\- ac 

 harumque denuo differenlia, quae per d — e divisa est, 



ad 

 ae 



ah 

 ah 



a\ 



d 



a. 



477. Hinc apparet quinos numeros a, 6, c, d, e, quorum potcstates quintae, per numerum 

 primum 10/) -hI divisae, paria relinquunt residua, ita esse comparalos, ut eorum summa 



« -f- 6 -f- c -I- d -I- e 

 etiam per eundem sit divisibilis. Cum autem singuli minores sint quam lOp -i- 1 , eorum summa 

 est vel 10/) -4- i, vel 2 (10/) -4-1), vel 3(10/)-h1), vel h{iOp-^\). 



kl^. Cum numeros negativos etiam ut residua spectare liceat, haec summa a-\-h-^c-\-d-¥-e 

 ut nihilo aequalis considerari potest, unde datis quatuor «, 6, c, d!, quintus sponte datur, scilicet 

 c = — a — 6 — c — df, qui cum sit unicus, patet plures quam quinque non dari. 



kl^. En ergo novam demonstrationem, quod numerus residuorum diversorum pro quocunque divi- 

 sore primo 2g-i-l sit vel =2^, vel =-^5 et quod prius quidem semper eveniat, si q non sit mul- 

 tiplum quinarii, posterius semper, si fuerit q = 5p. Priori casu omnes numeri divisorc minores sunt 

 residua, posteriori tantum quinta eorum pars. 



4-80. Posito igitur divisore primo 10/)-k-1, multitudo residuorum diversorum est =2/), inter 

 quae cujusvis residui negativum quoque occurrit, ex quo eorum multitudo est par. Tum vero idem 

 residuum quinque potestatibus diversis, quarum radices sint divisore minores, convenit, quas notasse 

 juvabit. 



481. Tales divisores cum sint 11, 31, 41, 61, 71, 101, etc. consideremus primo divisorem 

 1 0/) -»- 1 = 1 1 , quo fit /) = 1 : 



Residua 



1 



10 



Residua 



1 

 5 



26 

 6 



25 



30 



Classes non-residuorum 

 I. II. III. IV. 



2 4 8 5 



9 7 3 6. 



Classes non-residuorum 



15», 23», 27*, 29*, 30* 

 483. Sit divisor primus lOpn- 1 =41, ideoque p = 4, erunt 



