Tractalus de numcrorum doctrina Cap. 13. 63 



kdk. Sit m = 6, et senae potcstatcs a^ quae per 6n-+-l divisae, unitatem rclinquunt, sunt 

 6nH- 1 n potestates 



7 I I*, '^\ k\ 6«, 5«, y 



13 2 !•, 3^ 9% 12«, lOS ^*' 



19 3 \\ 1\ 11', 18', \2\ 8" 



hic scilicet eaedcm potestates, quae pro casu /w = 3 prodcunt, quibus totidcm, ex radlcibus negativis 

 ortae , sunt adjicicntiae. 



^95. Sit m = 7, et potcstates «', quae per 7n -f- 1 divisae, unitatem relinquunt, sunt 



pote6tate« 

 7', 20\ 2k\ 23', 16', 25' 

 ^t', 16', 21', ki\ 35', 11' 

 20', 'v5', Ii8', 37', 30', 32' 

 \\ 16', 30', 28', 109', k^\ 106'. 

 ^96. Jam obscrvavimus, uno horum numerorum cognito, reliquos ex cjus potcstatihus oriri. 

 Verum methodus talcm numcrum invcstigandi hacc promptissima vidctur: Proposito divisore primo 

 mn H- 1 , quacrantur duae potcstatcs a"' et h'" idcm residuum praebcntes ; tum quaeratur x , ut 



sit X = "^^ f et x'" unitatcm relinquet. Sempcr autem p ita capi potest, ut x fiat nu- 



merus intcgcr. 



\^1. Si divisore existente mn -i- 1 , potcstatcs exponcntis m unitatem relinquentes sint 



\"\ a"", i3'"y /'", b'", ctc. numcro m, 

 tum 1, «, /?, /, 5, etc. crunt rcsidua ex progressionc gcomctrica 1 , «, «*, «*, «*, etc. orta; erunt 

 ei^o etiam ex scrie potestatum 1", 2", 3", k", 5", 6", ctc. nata. 



4-98. En ergo mcthodum facillimam unum saltcm numcrum « invcniendi, ut «"* — 1 per 

 mn-i-1 fiat divisibile, scilicct pro « sempcr sumi potcst 2", scu residuum ex hac potestate binarii 

 ortum, quin etiam valores idonei ex 3", 5^*, etc. peti possunt; cognito autcm uno, rcliqui facile 

 innotcscunt. 



k^^d. Si divisore primo cxistcnte m/i -+- I , in rcsiduis potcstatum 1, 2", 3", ^", etc. occunat 

 numcrus N, ibi quoquc occurret numcrus /Va": dabiturque numcrus a;, ut x" — Na^ pcr mn-i-l 

 fiat divisibile, critque etiam N'" — 1 pcr m/i -f- 1 divisibilc. 



500. Vicissim autem, si N"* — 1 per mn-¥- 1 cst divisibilc, erit ^V rcsiduum potestatis cujus- 

 dam x"; si enim essct non-residuum, omnia reliqua non-rcsidua pari ossent pracdita proprietate, 

 idcoque omnes numeri; forcntque omnes hi numcri {'" — \ , 2"' — 1, 3'" — I, etc. divisibiles per 

 nm -¥- 1 , quod autem fieri uequit. 



501. Posito divisorc primo m/i-i- 1, sint poteslatum 1'", 2'", 3*", k"\ etc. residua 1, ^, B, C, D, etc, 

 potestatum vero 1", 2", 3", k'*, etc. residua 1, «, /5, y, d, etc, ac potestates omncs 



\"\ «'", /i"', /", d'", etc 

 residuum rclinqucnt 1; hae vero potestatos 1", z^", W*^ C", etc residuum relinquent I, ideoque 

 hae formae u'" — //" erunt divisibiles per mn -t-i. 



