6^ L. EULERl OPERA POSTHUMA. Aruhmetica. 



Pag^ina Intepcalata. 



Tentamen demonstrationis , quod si divisor primus sil 8q-i-7, in residuis reperiatur 2. Ponamus esse in residuis 2, 

 et cum ibidem sit {^q-t-m)'^, erit quoque Sqq-t-Smq-+-2mm, hincqUe ^ 



Smq-i-2mm — Iq et 2mm — 7w — 7q et 2mm — 7m-^q-t-7 , 



quod si nunquam fiat non-residuum, patebit propositum. At non-residua repraesentari possunt per quadrata negativa, 

 quorum dupla etiam erunt residua per hypothesin ; sit ergo 



2mm — 7m-+-g-+-7= — 2aa-H8%-H76, fietque 



2aa-*-2mm — 7nH-7 — 76 „ -r (4a)2-i-(4m - 7)* 



foretque 8?-f-7 divisor ipsius (4a)*-f-(4m — 7)^, quod cum fieri nequit, sequitur ex residuo 2 nullum deduci absur- 

 duni, cujusmodi necessario resuUare deberet, si 2 non esset residuum. (*) 



Theorema. Si divisor i2q-h-H, erit 3 residuum. 



Ponamus 3 esse residuum, ac si nuUum absurdum inde sequatur, pro vero erit habendum. Erit ergo — 3 non- 

 residuum, et omnia non-residua — 3aa. Atresiduum esl (2g-i-m)^ et \2qq -i- i2mq-i-'imm, hincque 3mw — \\q — ilm, 

 item 3mm-¥-q — llm-Hll, quod nunquam potest esse non-residuum — 3aa: ponalur enim 



3mm— 1 Im-f-1 1 -i-g = — - 3aa-i-1269-Hll6, erit 



3«a-*-3mm — Hm-+-ll-116 , ^, .„ .. (6a)*-i-(6m- H)^ 



^ = m^Ti ' undefit 12^-4-11 = ^ ^^^_^ , 



quod cum sit absurdum, 3mm — \\m-h-\i-\-q nunquam inter non-residua continebitur. 



Vel ita pro divisore Sq-i-7. 



Si 2 esset non-residuum, in genere 2mm — 7m — 7q±a[Sq-i-T) esset non-residuum; in genere autem resi- 

 duum est [iq-t-n^^^^^Gqq-i-Snq-i-nn^Snq-^nn — \\q=nn — ik^q — 7n= wn-H2^ — 7n-*- lidbi^J^^^f-H^), omnes 

 ergo numeri continerentur in alterutra harum formularum: 



2mm — 7m — 7^ rt a (8gr-i- 7) 

 nn — ln—\!^q±(3{Sq-i-l). 

 Si unicus assignari posset numerus, hic non contenlus, demonslralio esset perfecta; vel si idem numerus in utraque 

 contineretur, quod fit si, posito m=/"-4-^, n=f-i-2g, fuerit ff — 2gg-\-lg-\-lq divisibile per 8^-h7. 



(*) Script. ad marg. Si 2mm — 7m-i-q-^7 ponatur = — aa, fit 



«._^7 2(2«)'-H(4m-7)» 



nunc demonstrandum restat 2xa;-t-yy nunquam divisibile esse per 8^-1-7. 



Nota allera, ut videlur, huc pertinens. Sxx — (2y-i-l)* alios divisores primos non habet, nisi formao 



8n — 1 et 8n -t- 1 



— - — mt si x = 7a±i, -— int. si a: = 23a±7, -— - mt. si a: = 3Iazt2 



7 23 31 



— — — « « x = VJa±\0., " « x=\la±l , • « x = i\a±b 



47 , ' 17 41 



