Tractatus de numerorum doclrtna Cap. 14-. 65 



Capiit \M\. 



De residuis, ex divisione quadratorum per numeros compositos ortis. 



502. Sint i, ccj ^, y, d, etc. rcsidua, quae ex divisione quadratorum pcr numcrum primura 

 2p -H i oriuntur, quorum numerus est =/>; ac videamus prirao, quaenam residua oriantur, si divisio 

 fiat per duplum 2 {2p h- i), atquc bic quidcm excludaraus quadrata paria'; tantum enim ea quadrata, 

 quac ad divisorcm sunt prima, considercmus. 



503. Wultitudo autcm quadratorum, quorum radiccs sunt divisore minorcs, cst =2p, et 

 quoniam quadrata aa et (^^-+-2 — «)* idem rclinquunt residuum, multitudo rcsiduorum diversorum 

 major esse ncquit quam p; erit ergo vel =p, vel minor quam p. 



50'i'. Minor scilicet csset, si darentur duo quadrata aa et 66, ut non esset b = kp-i-2 — a, 

 quac idem relinquerent residuura. Foret autcra tum 66 — aa=(b — a)(6-t-«) divisibile per 2(2/)-+-i), 

 et alter factor pcr 2, altcr per 2/) h- 1 divisibilis esse deberct. At uno existente pari, altcr quoquc 

 erit par, ideoque pcr totum divisorem divisibilis, unde foret 6 = 2(2/)-f-i) — a. 



505. Multitudo erg;o residuorum diversorura, quae quidera ex quadratis ad divisorera prirais 

 oriuntur, erit =/>, totidera nuraero, quot ex divisore prirao 2p-t-i nascuntur. Ac si residua, ex 

 divisore 2(2/)-f-i) orta, sint i, y4, B, C, D, etc, eorura nuraerus est =/), et ibidem occurrent 

 producta cx binis. 



506. Dantur autcm 2p numeri ad hunc divisorem primi eoque minores, unde cura eorum 

 tantura semissis rcsidua constituat, altcr semissis dabit ordinem non-rcsiduorum , quae si sint H, 93, 

 S, J), etc. , eorura numerus erit =p, et producta ex horum binis iterum fient residua. 



507. Contempleraur quaedam exempla, in iisque tam residua, quae ex divisore prirao 2/)-*-l, 

 quam ex ejus duplo 2(2/)-i-i) nascuntur, simulque apponamus non-residua ad divisorcm priraa: 



