66 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Aritkmetica. 



et primo observamus omnia residua divisoris 2(2/)-f-l), vel ipsa, vel numero 2p-i-l minuta 

 constituere residua divisoris 2p-f-l. 



509. Scilicet vel A, vel A — i2p-\-i) in residuis 1, «, ^, 7, etc. occurrit. Cum enim detur 

 quadratum impar aa , ut sit aa — A per 2(2p-i-l) divisibile, erit quoque per 2/)-i-l divisibile, unde 

 A etiam inter residua divisoris 2/}-*-l reperiatur necesse est, vel ^— (2/)-i-l), si fuerit ^>2/)-f-l. 



510. Numeri porro impares seriei 1, a, /3, /, etc. in serie 1, A, B, C, D, etc. occurrunt, 

 pares autem ibi non reperiuntur, at vero iidem aucti numero 2p^i. Sit enim a numerus impar, 

 et cum aa — a sit divisibile per 2p-!-l, erit aa — a = n {2p -i- i). Jam a vel est par, vel 

 impar. Si impar , erit aa — a par , ac proptcrca etiam ' n par , sicque aa — a divisibile erit 

 per 2(2/j-+-l). 



511. At si a sit par, erit 2p-i-l — a impar, atque etiam (2/) -t- 1 — a)"^ — cc = n (2p -f- 1 ), 

 ubi n fiet par, ita ut haec formula quoque per 2(2/)-i-l) sit divisibilis; unde si a sit numerus 

 impar, certe inter residua 1, A, B, C, etc. continebitur. 



512. At si a sit numerus par, ejus loco inter residua divisoris 2/)-i-l considerari potest 

 a-f-2/)-*-l, qui cum sit impar, ob rationes allatas etiam inter residua divisoris 2(2/)-f-l) re- 

 periri debet. 



513. Datis ergo residuis 1, «, ^, 7, etc, ex divisore primo 2/) -f- 1 ortis, ex iis statim 

 concinnari potest scries residuorum 1, A, B, C, etc. ex duplo divisore ortorum 2(2/)-f- 1), illorum 

 scilicet, quae sunt imparia, ipsa ponendo, paria autem numero 2/) -f- 1 augendo. 



51^. Simili modo ex serie non-residuorum a, b, c, b, etc. divisori 2/)-f-l respondentium 

 formabitur series non-residuorum divisori 2 (2/) n- 1) respondeutium, dum imparia ipsa sumuntur, 

 paria vero numero 2/) -f- 1 augentur. 



De divisore k (2p -¥- i) = d. 



515. Multitudo numerorum hoc divisore minorum ad eumque primorum est 2.1.2/) = 4/), et 

 non solum quadrata aa et {d — a)"^ idem relinquunt residuum, sed dantur praeterea duo alia 66 et 

 {d — 6)'^. Fieri enim potest 66 — aa = {b — a) (6 -f- «) = kn {2p -f- 1 ) , sumendo 6 — a = 2n et 

 6 -f- a = 2 (2/) -f- 1) , unde fit 6 = 2 {2p -f- 1) — a, sicque quaternorum quadratorum, idem residuum 

 relinquentium, radices sunt: a, 2 {2p -f- 1) — a, 2 {2p h- 1) -f- a, 4- {2p h- 1) — a. 



516. Plura autem quam quatuor dari non possunt, unde hoc casu numcrus residuorum tantum 

 cst /), uti pro divisore primo 2/)-f-l; at numerus non-residuorum est 3/), ut ex subjunctis exemplis 

 videre licet: 



