Tractatus de mmerorum doctrtna Cap. 14. 67 



divisor 11 hk 



residua 1, 3, 9, 5, * ^ 9, 25, 5, 37 



l 3, 27, 31, 15, 23 



non-rcsidua 2, 6, 7, 8, 10 < 7, 19, ^3, 35, 39 



( 13, 29, 17, 21, hi 



divisor 13 52 



rcsidua 1, 3, h, 9, 10, 12 1, 9, 25, ^9, 29, 17 



f 3, 27, 23, W, 35, 51 



non-residua 2, 5, 6, 7, 8, 11 < 5, 45, 21, 37, 41, 33 



(7, II, 19, 31, 47, 15. 



517. Sint pro divisore 2/) -h 1 residua 1, «, /?, 7^, 5, etc. et pro divisore 4(2p-t-l) residua 

 1, A, B, C, I>, etc. multitudine aequalia; ac primo patet ex his residuis illa reperiri, scilicet ex 

 serie i, A, B, C, D, etc. , quae sunt minora quam 2p-t-l, ipsa in serie 1, ce, /9, y, 5, etc. 

 continentur; quae vero sunt majora, minui debent numero 2p-*-l, vel ejus duplo, vel ejus triplo. 



518. Dcinde observo inter residua 1, A, B, C, D, etc. nullum numerum hujus formae kq — 1 

 contineri. Cum enim quadratum aa, demto numero kq — 1, nequeat esse divisibile per 4, fleri non 

 potest, ut sit aa — (kq — 1) multiplum ipsius 4(2p-i-l), unde numeri 3, 7, 11, 15, 19, 23 

 semper sunt inter non-residua. 



519. Si in serie 1, a, /?, 7, d, etc. occurrat numerus impar formae hq-\-\, idem quoque in 

 serie i, J, B, C, D, etc. occurret; nam si aa — (kq-t-i) sit divisibile per 2p-f-l, quoque divi- 

 sibile erit (2p -+- 1 zt a)^ — (4g-i-l); et quia numerorum a et 2p-+-lit:a alter certe est par, 

 alter impar, sumatur a impar, et aa — (4g-4-l) per 4 erit divisibile, unde etiam per 4(2p-i-l), 

 ita ut pro hoc divisore kq-^i futurum sit residuum. 



520. At si numerus impar kq — 1 sit residuum divisoris 2p -4- 1 , non erit residuum divisoris 

 4(2p-f- 1), uti jam vidimus; tum vero 2 (2p -i- i) -¥- kq — 1, quia rcdit ad formam 4r-*-l, certe 

 inter rcsidua divisoris 4(2/)h-1) continebitur. 



521. Si numerus par 2q sit residuum divisoris 2p h- I , tum vel 



2q-t-2p-^i, vel 2g-+-3(2p-f-l) 



erit residuum divisoris 4(2/)-4-l), prout vel hic, vel ille numerus fuerit formae 4r-t-l, alter enim 

 formae kr — 1 sempcr excluditur. 



522. Scilicet si sit p = 2/n, et km-t-i niunerus primus, si kq sit rosiduum divisoris 4»ih-1, 

 tum kq-¥-km-*-i erit residuum divisoris 4(4/n-»-l); at si 4g-4-2 rcsiduum divisoris 4m-4-l, 

 tum 4^ -+- 2 -*- 3 (4w -f- 1) erit rcsiduum divisoris 4 {km -*- 1). 



523. Sit p = 2m — 1 et km — 1 numeruS primus: Si kq sit residuum divisoris km — 1, 

 tum 49-4- 3 ('*m — 1) erit residuum divisoris 4 (4m — I). At si 4^-1-2 sit vesiduum divisoris 

 km — 1 , tum 4g -+- 2 -4- 4m — 1 = ^7 -♦- 4m -+- 1 erit residuum diNisoris 4 (4m — 1). 



