68 L, EULERI OPEIU POSTHUMA. Arithrmtica. 



^2k. Ope harum regularum ex singulis residuis divisoris primi 2p-\-i totidem residua divisoris 

 k{2p-\-i) reperiuntur; unumquodque onim vel ipsum, vel auctum numero 2/)-*-l, vel 2(2p-f-l), 

 vel 3(2p-+-l), ut prodeat numerus formae hq-\-i, erit residuum divisoris 4 (2/> -i- 1). 



525. Ex quovis autem residuo divisoris 2p -\- i unum quoque non-residuum pro divisore 

 %{2p-\-i) elicitur, formae kq — 1; tum vero ex quovis non-residuo divisoris 2p-\-i bina non- 

 residua pro divisore h(2p-\-i) prodeunt; si enim illud sit par, addendo 2/) -h 1 et 2(2|)-*-l), sin 

 sit impar, addendo et 2{2p-\-i) duo non-residua obtinentur. 



De divisore 8 (2/)-i- 1) = d. 



526. Hic semper octo dantur numeri minores quam d, quorum quadrata por d divisa relinquunt 

 idem residuum, scilicet uno numero existente «, reliqui septem sunt 



2(2/>-f- l)dba, h{2p-\-i)±a, 6 (2/>-i- 1) zta, 8(2/)-4-l) — a 



neque plures exhiberi possunt. 



527. Quare cum multitudo numerorum, ipso d minorum ad eumque primorum sit =kA .2/)= 8/), 

 horumque octoni idem praebeant residuum, manifestum est numerum residuorum diversorum fore 

 = /), non-residuorum vero =7p. 



528. Deinde patet inter residua occurrere non posse ullum numerum formae hq — 1 , vel 

 alterutrius hujus 8q — 1, Sq — 5; neque vero etiam inter residua esse potest numerus formae 

 Sq-\~5, propterea quod forma xx — {Sq-\-5) nunquam per 8 neque erg-o per 8 (2/j -h 1) dividi 

 potest, quia est xx=Sn-i-i ob x imparem. 



529. Alia igitur residua non locum habent , nisi quae sint formae Sn-\- i , et quia divisor 

 ost 16p-f-8, pro n sumi possunt omnes numeri ab usque ad 2p. At ex forma 8/i-i-l excluditur 

 vel 2pH-l, vel 3{2p-\-i), vel 5{2p-\-i), vel 7{2p-^-i), quae scilicet est formae Sn-\-i, ita 

 ut tantum 2p hujusmodi numeri relinquantur, quorum autem semissis solum residua constituit. 



530. Ex his autem numeris formae Sn~\-i, quorum multitudo est 2p, si unicus constet, 

 qui sit non-residuum, eo per singula residua multiplicando obtiuentur reliqua non-residua numero 

 p, praeterea vero reliqui numeri impares sive formae Sn-\-3, sive 8ai-i-5, sive Sn-\-7 suppodi- 

 tant adhuc 6/) residua. 



531. Divisor ergo S{2p-\-i) totidem praebet rosidua, quot divisor 2p-h-i, quae si sint 

 1, «, /?, y, d, etc. ox singulis residua divisoris S{2p-\-i) elicientur, addendo ejusmodi multiplum 

 ipsius 2p -\- i , ut aggregatum fiat formae Sn-\- 1, vehiti ex hoc exemplo videre licet: 



Pro divisore 13, residua 1, 3, h, d, 10, 12 

 adde 0, 6.13, 13, 0, 3.13, 13 



pro divisorc 104^, residua 1, 81, 17, 9, 49, 25. 



532. Si pro divisore 8(2/)-t-l) fuerit residuum J, erit JP — 1 divisibile per S{2p-\-i)\ 

 ac si hoc eveifterit, erit J vicissim residuum quadratorum. Scilicet si ^^" — 1 sit divisibile per 

 8(2/)-*- 1), semper assignari potest quadratum xx, ut sit xx — ^ divisibile por S{2p-t-i). 



