Tractatus de numerorum doctnna Cap. 15. 69 



De divlsore 3{2p-*-i) = d. 



533. Multitudo numerorum hoc divisore minorum et ad eum primorum est =2.2/) = kp, 

 inter quos duo ad minimum sunt, quorum quadrata idem residuum relinquunt, scilicet a^ et (d — a)*, 

 unde numerus diversorum residuorum major quam 2p esse ncquit. 



534-. Praeterea vero cum a per 3 non sit divisibile, vel 2/)-*-l — 2a, vel 2 {2p -t- i) — 2a 

 per 3 erit divisibile, sit quotus =iw, et quadratum numcri 3m -4- a idem relinquet residuum, ergo 

 vel 2/) -4- 1 — a, vel 2 {2p -*- 1) — a, indeque praeterea vel 2 (2p -i- 1) -+- a, vel 2/) -4- 1 -*- a 

 idem quoque residuum relinquet. 



535. Hoc modo cum semper quaterna quadrata idem dent residuum, numerus residuorum di- 

 versorum erit tantum =p, ideoque idem ac pro divisore 2/)-+-l. In residuis autcm nequit esse 

 ullus numerus formae 3n — 1, cum nullum quadratum, tali numero minutum^ per 3, neque ergo 

 per 3 (2/) -t- 1 ) dividi queat. 



536. Omnia ergo residua divisoris 3 (2/) -4-1) erunt numeri formae 3/1-4-1, et si residua 

 divisoris 2/)-*-l sint 1, a, /?, 7, etc. quodlibet vel ipsum, vel numero 2/)-f-l, vel 2(2/)-*- 1) 

 auctum, quo prodeat numerus formae 3/i-»-l, erit residuum divisoris 3{2p-t-i). 



Pro divisore (2/)-*- 1) (2g -f- 1) = d. 



537. Sint pro divisore 2/)-f-l residua 1, «, /?, y, 5, etc. numero =p, et pro divisore 

 2^-4-1 residua 1, n:, (>, <?, t, etc. numero =q, ac numeri utrique ordini communes erunt residua 

 divisoris d = {2p -t- i) {2q -h- i). 



538. At ad priorem ordinem pertinere censendus est numerus m {2p -t- l) -t- a , ubi m ita 

 potest definiri, ut fiat aequalis vel n (2g -1- 1 ) -4- 1 , vel /i (2g -4- 1 ) -1- tt , etc, sicque ex quovis 

 residuo divisoris 2p-t- i producuutur q residua divisoris 2g h- 1 , sicque omnino pq rcsidua diversa 

 pro divisore {2p -\- i) {2q -t- i) obtinentur. 



539. Sit hujusmodi divisor compositus 5.7=35, et cum sint residua pro divisore 5 haec 

 duo 1, 4, et pro 7 haec tria 1, 2, 4 5 ergo pro divisore 35 residua erunt 7/1-4-1, 7/1-4-2, 

 Tn-t-k-, quae scilicet vel in forma 5//i-i-l, vsl 5m-i-h- continentur. Erunt ergo haec residua 

 numero sex: 1, 29; 9, 16; 4, 11. 



5^0. Cum pro divisore {2p-i-i) (2y-4-l) tantum dentur pq residua diversa, quatcrna quadrata 

 idem praebebunt residuum, quorum unum si sit =aa, reliquorum trium radices erunt: 



(2p-4-l)(2^-4-l) — a, /w(2/)-i-l) — a, /i (2p-i- l)H-a, 

 sumendis numeris m ei n ita, ut /w(2p-t-l) — 2a et n {2p -t- i) -*- 2a dividi queant per 2^-4-1, 

 quod ob 2/)-4-l et 2^-4-1 primos inter se, semper fieri potest, tt m et n sint minorcs quam 2q-*-i. 



Caput XV. 



De divisoribus numerorum formae a*a:-4-j/y. 

 5Vl. Hinc primo excludo casus, quibus numeri x et j habent communem divisorem; si enim 

 maximus communis divisor esset = ^ et x = p(p et y=iq(p, ut p et 7 forent primi inter se, 

 haberctur xx -t- yr = {pp -t- qq) qxp , et inventio divisorum reduceretur ad formara pp -*- qq- 



