70 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithrmtica. 



54^2. Sint ergo a? et y primi inter se, atqiie evenire potest, ut xx~v-yy fiat numerus primus, 

 cui probando vel unicus casus sufficeret, quorum simplicissimus est 2. Ut autem xx-\~yy fiat 

 numerus primus, statim excluduntur casus, quibus ambo numeri x e\ y sunt impares. 



S^i-S. Ponatur ergo alter par, alter impar, et evidens est omnes numeros primos xx-^yy in 

 hac forma kn-^i contineri debere, sicque nullus numerus formae kn — 1 duorum quadratorum 

 summa esse potest. 



5'i''^. Sin autem x ^t y sint numeri impares, seu £c = 2p-*-l et j = 2g-i-l, fieri poterit 

 ut semissis — - — = 2pp -4- 2/) -f- 2qq -i- 2g -i- 1 fiat numerus primus. At est 

 2pp -I- 2/) -t- 2qq -i-2q-t- i = (p -+-q-+- l)^-i- (jo — g)'*, 



iterum summa duorum quadratorum, quorum alterum par, alterum impar, ob summam radicum 

 2p -f- 1 imparem. 



5^5. Si summa duorum quadratorum aa -i- 66 per aliam summam duorum quadratorum cc-¥-dd 

 multiplicetur, productum [aa -\- hh) {cc -i- dd) iterum erit summa duorum quadratorum, cum sit 

 = (acdt 6^)^-+- (ad ip 6c)*, quod ob ambiguitatem sig-ni duplici modo evenire potest. 



54^6. Hic inversa propositio se ofFert: si summa duorum quadratorum pp-*-qq divisionem ad- 

 mittat per summam diiorum quadratorum aa-i-bh, fore etiam quotum duorum quadratorum summam, 

 cujus veritas autem inde non sequitur, sed peculiarem demonstrationem requirit. 



.5^7. Ad hoc dcmonstrandum primum animadverto formam pp-i-qq per aa-\~bh esse divisibilem; 



quanlicunque sint nuraeri p et q, semper eos reduci posse ad numeros minores quam aa-h-bb, atque 



1' 

 adeo quam -^ (aa -+• 66) , cum si pp -i- qq sit divisibile per aa-*-hby etiam 



(=t a {aa -f- 66) ±p)^H- (± /? {aa -i- 66) ± q)'' 

 divisibile evadat. 



5^8. At si ^-^—7? sit summa duorum quadratorum cc-i-dd, seu p = ac-i-bd et q = ad — 6c, 

 sumendo p = ac -\- bd -\- a {aa hh 66) et q = ad — bc-*- /3 (aa -*- 66) , tum pp -*- qq utique per 

 aa-\-bb divisionem admittet, eritque quotus 



= cc -i- dd -+- 2a {ac -i- hd) -h 2^3 (ad — 6c) -t- {aa -4- /3/3) {aa -i- 66) , 

 qui eliam est summa duorum quadratorum {c-i- aa — /96)^^-1- {d -t- ab -t- /3a)^. 



5kd. Verum haec altius sunt petenda; dico ergo primo, si divisor aa-¥-bb sit numerus primus, 

 per quem forma pp-t-qq sit divisibilis, quotum esse summam duorum quadratorum; quod etsi in 

 genere verura est, existente aa~\-bb etiam namero composito, tamen demonstratio ab hoc casu 

 derivanda videtur. 



550. Cum a ct 6 sint numeri primi inter se, ad eos p ita referri potest, ut sit p=.nia — nb, 

 idque infinitis modis, iam si esset q =: na -t- mb . foret uiiaue ^^^^^= mm-i- nn; at si non sit 



'' * ' -1 aa-t-bb 



q=z na -h- mb . ponatur q = na-\- mb -\- s, eritque 



pp -H qq = {aa -f- 66) {mm -#- /in) -i- 2* {na -*- mb) -i- ss. 



551. Cum ergo 2s {nn -+ mh) -t- ss sit divisibile per aa-t-bb, vel 5, vel 5 -*- 2 (na -4- /w6) 

 divisibile sit necesse est. Priori casu ponatur s= t{aa -h- 66) , erit 



