Traclatus de mmerorum doctrma Cap, 15. 7t 



^^~*~^^ = mm -i-nn-t-t(t (aa -t- 66 1 -f- 2 (na -*- mb}) 



= mm -k- 2mbt -f- «66 -+- nn-+- 2nat -t- aatt = (m -h 6()'^-i- (/i -f- aty, 

 ideoque summa duorum quadratorum. 



552. Altero casu ponatur * -*- 2 {na -t- mb) = t {aa -*- 66) , crit s = t {aa-t-bb) — 2{na-i-mb)^ 



ideoque ^-^-^ = mm -+- nn-^tt {aa -*- 66) — 2t {na -*- mb) = {m — 6<)^h- {n — aty, ita ut utroque 

 casu quotus sit summa duorum quadratorum. 



553. Si er^o pp-^qq sit divisibilc per numerum primum aa-t-bb, demonstratum est quotum 

 csse quoque summam duorum quadratorum. Ilinc si quotus non esset summa duorum quadratorum, 

 divisor non forct numerus primus formae aa-k-bb, hoc est, vel si esset primus, non csset formae 

 aa-\-bb, vel si essct formae aa-\-bbj non cssct primus; vocabula autcm quoti et divisoris inter 

 se pcrmutare licet. 



554-. Denotent, brevitatis gratia, littcrae ^, B, C, D, etc. numeros primos formae aa-t-bb, ct 

 si summa duorum quadratorum pp -h qq divisibilis sit per talium numerorum productum JBCf 

 quotus quoque erit summa duorum quadratorum. Est enim ^^~*~^ =rr-t-ss, tum vcro 



rr-i-ss ^^ ^ tt-t-uu , «. pp-*-gq 



— — = u-i-uu, atque — - — =xx-\-yyj unde lit ^ =xx-i- yy. 



555. Si ergo sumraa duorum quadratorum pp-^qq divisibilis esset pcr numerum non-summam 

 duorum quadratorum, quotus, si essct primus, non foret summa duorum quadratorum, et si esset 

 compositus, non forct productum ex talibus numeris primis, qui sing-uli csscnt summae duorum 

 quadratorum. 



556. Quare si summa duorum quadratorum pp-*~qq unum habeat factorem, qui non sit summa 

 duorum quadratorum, intcr reliquos factores primos ad minimum unus, qui etiam non sit summa 

 duorum quadratorum, rcpcriatur nccesse est. 



557. Nunc ig-itur invcstigemus, an summa duorum quadratorum pp -t- qq iutcr se primorum 

 per ullum numerum 2(, qui non sit summa duorum quadratorum, divisibilis csse queat. Ad hoc 

 sumamus pp-^qq divisibile csse per talcm numerum %, atque ctiam {p — m%Y~i-{q — n^iiy divisi- 

 bile erit pcr % (*). 



558. Potcrit ergo talis summa duorum quadratorura pp-^qq exhiberi, quorura radices p ei q 

 minores sint quam ^, quin etiam minores quam ^%\ cum etiam C^ — p)^-f- C^ — 7)* divisioncm 

 admittcrc debeat, quorum quadratorum radices minores erunt quam 5*^, si /> et g eo csscnt majores. 



559. Dabilur ergo summa duorum quadratorum pp-*-qq minor quam 171% (cum sit p < ^^f 

 et g <C j^i) per numcrum % divisibilis; ponatur quotus = 33, qui etiam vel ipse non erit summa 

 duorum quadratorum , vel factorcm talcm habebit , critquc 93 <C 2 2(. 



560. Cum jam pp-*-qq divisibile sit per 93, exhiberi 'poterit surama duorum quadratorum 

 rr-f-.w minor quam 19323, divisibilis per 93, et quotus d, qui erit minor quam ^^, paritcr non 

 erit summa duorum quadratorum, per quem cum divisibilis sit rr-^ss, dabitur tt -t- uu <i {^Q. 

 divisibilis pcr (E , et quotus © < |(I itidem non crit summa duorum quadratorum. 



(*) Scripl. ad marg. Quorum radices, s\ p el q sint primi inter se, etiam erunt primae inter se. 



