72 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



561. Hoc modo tandem pervenietur ad summam duorum quadratorum quantumvis parvam, 

 quae foret divisibilis pcr numerum non-summam duorum quadratorum, quod cum sit absurdum, 

 necessario sequitur, summam duorum quadratorum inter se primorum non esse divisibilem per ullum 

 numerum, qui ipse non sit summa duorum quadratorum. 



562. Proposito autem numero primo quocunque formae 4/n- 1 , quia inter residua quadratorum 

 est — 1, vel 4/1, semper summa duorum quadratorum per eum divisibilis exhiberi potest, unde 

 sequitur omnes numeros primos formae hn-^ \ esse summas duorum quadratorum. 



563. Deinde cum numeri formae hn — 1 nunquam esse possint summae duorum quadratorum, 

 nulla summa duorum quadratorum inter se primorum per ullum talem numerum \n — 1 divisibilis 

 esse potest. 



564. Desideratur autem demonstratio succinctior, qua probetur, si summa duorum quadratorum 

 pp-+-qq divisibilis fuerit per summam duorum quadratorum aa-^bb, quotum necessario quoque 

 esse summam duorum quadratorum, quod sequenti ratiocinio perficere tentemus. 



565. In divisore aa-+-bb numeros a et 6 inter se primos assumere licet; si enim non essent 

 primi inter se, sublatione communis factoris tales redderentur; erit ergo aa-\-bb tam ad a quam 

 ad b primus. Unde quicunque numeri fuerint p et^g, ii ita repraesentari poterunt 



p = m {aa -t- 66) zb fa et q = n (aa h- 66) =t gb , 



id quod infinitis modis fieri potest. 



566. Gum igitur pp-*-qq sit divisibile per aa-t-bby etiam ffaa-^ggbb per aa-t-bb erit 

 divisibile, atque ob illas infinitas resolutiones, omnes casus, quibus ffaa-\-ggbb per aa-\-bb divi- 

 sibile evadit, prodire debent, ergo etiam casus ^r^/^prodeat necesse est, quoniam hoc divisio 

 succedit. (*) 



567. Hoc concesso habebimus p = m {aa ~\- bb) ±fa et q = n {aa -h 66) ± fb; unde fit 



pp-^qq l mm (aa -t- bb) ± 2fma „ 



c^-^bb ~ \ nn \aa h- 66) ± 2fnb ~^ "' 



quae expressio est = (f±ma±nb)'^-+- {±naz^mb)'^, ideoque summa duorum quadratorum. 



568. Hinc ergo statim sequitur, si quotus non sit summa duorum quadratorum, neque diviso- 

 rem talem esse posse, neque ergo productum ex duobus numeris, quorum alter est summa duorum 

 quadratorum, alter sccus, summa duorum quadratorum esse potest. 



569. Conjunctis cura hisce, quae ante § 558 et seqq. sunt proposita, evincitur summam 

 duorum quadratorum inter se primorum nullos habere divisores, nisi qui ipsi sint summae duorum 

 quadratorum, tum vero omnes numeros primos formae kn -t- i esse summas duorum quadratorum. 



(*) Script. ad marg. tfic dubium esse potest, an casus g=^f necessario ex divisibilitate formulae pp~\-qq 

 sequatur. Hoc dubium est fundatum, nam sit 



a = T , b=h-, p=i7, 9=6, erit aa-+-bb=&5, pp-+-qq=32a; 

 fieri autem nequit 17 = 65m rtz 7/ simul 6 = 65ndz4f, unde haec posterior demonslratio rejiciendo. 

 -2 .2 =l'-4-2^ etsinullomodosit 17=1.7±2 h-, vel 17=2.7dbl ./|.. 



