Tractatm de numerorum doctrina Cap, 16. 73 



570. Si numerus quispiam N duplici modo est summa duorum quadratorum, scilicet 



N === aa -*- bb = cc -^ dd f v "i iv. 



tum non cst primus. Cum enim sit aa — cc = dd — 66 , erit d-\-b = ^!i?lt:f? et d — 6 = Mf^^^ 



' n m 



1 , fn(a-i-c) nia — c) , . 



Ar=aaH-65 = '!?^^(„n{a-c)'-.-m»,(aH-cP) = *=^'((a-o)'-H(6-.-d)'). 

 ubi denominatoris factorem tollere nequit. (*) 



Caput JLW. 



De divisoribus numerorum formae xa;-t-2yy. 



571. Sumtis a? et ^^ inter se primis, vel ambo sunt impares, vel altemter tantum par, ergo 

 vel Xy vel y erit par; ex quo tres rcsultant casus considerandi , qui cujusmodi numeros ratione 

 paritatis et imparitatis praebeant, investigasse juvabit. "^ 



572. Si ambo numeri cc et x sint impares, eorum quadrata sunt numeri formae 8/1-+-I, 

 fietque xx -t- 2yy numerus formae 8/1 -i- 3 ; sin autem x impar et y par, ob 



XX = 8w -#- 1 et 2yy = 2.4^», 



fiet a;a5 ■+• 2yy numerus formae 8/i -♦- 1 . 



573. Si X sit par et y impar, ponatur a;=2z, et fiet xx-k-2yy = 2{2zz-i-yy)\ jam cum 

 r sit impar, prout z fuerit vel par, vel impar, erit vel 



XX -+- 2yy = 2 (8/1 -+- 1) , vel xx-\- 2yy = 2 (8n -♦- 3). 



574". Omncs ergo numeri in forma xx-i-2yy contenti, dum x e% y sunt primi inter se, vel 

 saltem non ambo pares , si fuerint impares , pertinebunt vel ad formam 8/1 -h 1 , vel ad 8/1 -f- 3 ; sin 

 autcm illi numeri siut pares, vel ad formam 2(8/i-*-l), vel ad 2(8n-i-3) erunt referendi, et 

 casu hoc posteriori eorum semisses, scilicet 2zz-^yy sunt eliam numeri formae xx-^2yy. 



575. Numeri ergo impares, qui suut vel formae 8/i-*-5, vel formae 8/i-*-7, certe non sunt 

 numeri formae a?x-i-2jj, neque etiam dupla earum formarum in hac continentur, unde infiniti 

 dantur numeri in forma xx -1- 2yy non contenti. 



576. Produclum autem duorum numerorum hujus formae in cadem forma continentur; est enim 

 {aa H- 266) {cc -h 2dd) = (ac ± 26c/)*-i- 2 {ad =p 6c)^ unde simul patet talia producta duplici modo 

 in ista forma contineri. 



577. Jam demonstrandum est, si numerus pp-*-2qq dividi queat per aa-H 266, fore quotum 



(*) Script. ad marg. {a-¥-c){a^c) = {b-^d){d—b)=pqrs, a-\-c = pq, a-^c = rs, b-\-d=pr, d — b=qs: 



pq-*-rt pr — qs •• 1 , v , 



a= — —-, 6=C__, aa-i-bb = — {pp-\-ss){qq-l-rr). 



L. E n 1 e r i Op. poithunu. T. I. | Q 



