74 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



etiam istius formae. Notetur hic ob a et 6 primos ad aa-f-266, infinitis modis fieri posse 



p = m (aa -+- 266) zt= /a et q = n {aa -+- 266) it: gb, 



hincque fore ffaa -*- 'iggbb per aa -f- 266 divisibile. 



578. Si concedatur hoc modo omnes formulas ffaa -f- 2ggbb per aa -f- 266 divisibiies obtineri, 

 ibi etiam continebitur casus gg = ff, seu g = z±zf, unde prodit 



pp-t-^iqq 



aa-+- 266 



( nm (aa -f- 266) ± 2mfa _^ ^^ ^^^ „,^ ^ g^j^,,^ ^ ^^j, _ ^^, 

 ( 2nrt (aa -i- 266) =t 4-/1^6 



579. Hoc autem, quod concedendum postulavi, ita confirmari potest. Sint 1, a, /5, y, d, etc. 

 residua, quae ex divisione quadratorum per numerum aa-i-266 oriuntur, atque in istis residuis 

 continebuntur tam omnia quadrata, quam — 266, et — 2, seu omuia quadrata negativa duplicata^ 

 hoc est — 2, — 2«, —2^, — 2y, etc. 



580. Jam quodcuuque residuum quadratum qq per aa-+-2bb divisum relinquat, cum poni 

 possit q = n {aa -+- 2bb) ± gb , id per ggbb exhiberi potest, et residuum, ex divisione ipsius 2qq 

 ortum, per 2ggbb; quadratum ergo pp per aa -1-266 divisum relinquere debet — 2ggbb\ cujus loco 

 poni potest aagg, sicque quadrata pp et aagg paria relinquent residua, sicque fieri potest 



p = m{aa-i- 266) ± ag. 



581. At haec demonslratio est rejicienda, nisi sit aa -i- 266 numerus primus, nam si sit primus, 

 ob ffaa-\-2ggbb et ggaa-+-2ggbb divisibile per aa -1-266, necesse est sit ff — gg, ideoque vel 

 f — 9y vel f-k-g divisibile; utrovis autem casu, ob aa-^-^bb jam in altera parte contentum, prodit 

 vel g = -+-f, yelg^—f; quae conclusio locum non habet, si aa-^2bb sit numerus compositus, 

 cum tunc f — g per alterum ejus factorem, et f-^g per alterum divisibile esse posset. 



582. Si numerus pp-i-2qq per numerum 2(, qui non sit formae xx-i-2Yy, dividi queat, 

 quotus non erit numerus primus formae xx-t-2yy, quare si quotus sit primus, non erit formae 

 xx-¥-2yy; at si sit compositus, certe non omnes factores primi erunt hujus formae. 



583. Denotent enim J, B, C, D, etc. numeros primos formae xx-i-2yy, ac si pp-^2qq 

 esset divisibile per ABCD etc, quotus certe esset formae xx-\-2yy\ ergo si quotus , seu 

 alter multiplicator non sit formae xx-^2yy, fieri nequit, ut alter factor sit productum talium nu- 

 raerorum primorum. 



58^. Quare si pp -f- 2qq dividi queat per numerum li ex forma xx -k- 2yy exclusum , quotus, 

 si stt primus, non erit hujus formae, vel si sit compositus, factorem certe habebit non hujus 

 formae. (*) 



585. Denotent H, 33, ^, ©, etc. numeros primos ex forma xx-+-2yy exclusos, et vidimus 

 PP~+-2qq non esse posse J^U, neque JB^K, neque ABC7{, quare certum est, inter factores primos 

 numerorum pp-^2qq vel nullum, vel duos ad minimum numeros 71, 95 contineri. 



(*) Script. ad marg. Ergo pp+-2qq per niillos numeros primos formae 8n-f-5 et 8n-f-7 dividi pote.st; unde 

 «i quadrata per tales numeros primos dividantur, inter non-residua erit — 2. 



o. xx-t-nyy . ^ . bbxx — aayy . aaxx — nnbbyy 



Si ^=mtegro, erit -f^^int. et — i^ = int. 



aa-t-nbo ° aa-^nbb aa-t-nbb 



