76 L. EULERI OPERA POSTHUMA. ArithmeHca. 





II 



D^eoiiTerte d'une loi toiit extraordiiiaire deis iiombrets, par rapport 

 A la soiiuiie de leuris diTiiseurs. 



(Exhib. Berol. 1747 Junii 22. Conf. Comment. arilhm. Prooem. pag. XVIII. N. 57 et Suppl. Prooem. N. 1.) 



§ i. Les mathematiciens ont tache jusqu'ici en vain a decouvrir un ordre quelconque dansla pro- 

 gression des nombres premiers, et on a lieu de croire, que c'est un mystere auquel Tesprit humain 

 ne saurait jamais penetrer. Pour s'en convaincre, on n'a qu'a jeter les yeux sur les tables des nombres 

 premiers, que quelques personnes se sont donne la peine de continuer au-dela de cent-mille: et on s'a- 

 porcevra d'abord quil n'y regne aucun ordre ni regie. Cette circonstance est d'autant plus surprenante, 

 qiie rarithmctique nous fournit des regles sures, par le moyen desquelles on est en ctat de continuer 

 la progression de ces nombres aussi loin que Ton souhaite, sans pourtant nous y laisser apercevoir 

 la moindre marque d'un ordre quelconque. Je me vois aussi bien eloig-ne de ce but, mais je viens 

 de decouvrir une loi fort bizarre parmi les sommes des diviseurs des nombres naturels, sommes qui, 

 au premier coup d*oeiI, paraissent aussi irregulieres que la progression des nombres premiers, et qui 

 semblent meme envelopper celle-ci. Cette regle, que je vais expliquer, est a mon avis d'autant 

 plus importante qu'elle appartient a ce genre de verit^s dont nous pouvons nous persuadcr, sans 

 en donner une demonstration parfaite. Neanmoins, j'en alleguerai des preuves telles, qu'on pourra 

 presque les envisager comme equivalentes a une demonstration rigoureuse. 



§ 2. Les nombres premiers se distinguent des autres nombres, en ce qu'ils n'admettent d'autres 

 diviseurs que Tunite et eux-memes. Ainsi 7 est un nombre premier, parce qu'il n'est divisible que 

 par Tunite et soi-meme. Les autres nombres qui ont, outre runite et eux-memes, encore d'autres 

 diviseurs, sont nommes composes: comme par exemple le nombre 15, qui, outre Tunite et soi-meme, 

 est divisible per 3 et par 5. Donc en general, si le nombre p est premier, il ne sera divisible que 

 par 1 et par jo: mais si p est un nombre compos^, il aura, outre 1 et jo, encore d'autres diviseurs; 

 et partant, dans le prcmier cas, la somme des diviseurs sera = 1 -f-|); dans Tautre cas, elle 

 sera plus grande que 1 -i-/). Comme les reflexions suivantes rouleront sur la somme des diviseurs 

 de chaque nombre, je me servirai d'un certain caractere pour la marquer. La lettre f qu'on emploie 

 dans Tanalyse dcs infinis pour indiquer les integrales, etant mise devant un nombre, signifiera la 

 somme de tous ses diviseurs: ainsi f\2 signifie la somme de tous les diviseurs du nombre 12 qui 

 sont I H- 2 -+- 3 -t- 'f -♦- 6 -t- 12 = 28, de sorte que yi2 = 28. Cela pos6, on verra que 



/G0=168 et /100 = 217. 



