Loi relalive a la somme des diviseurs des nombres. 77 



Lunite nayant dautre diviseur que soi-meme, on aurayi = l. Le chifre 0, au contraire, 6tant 

 divisible par tout nombre, la valeur deyo se|*a infinie. Gependant, dans la suite, je lui assignerai, 

 pour chaque cas propose, une valeur detcrminee, convenable a mon dessein. 



§ 3. Ayant donc etabli ce signe y pour marquer la somme des diviseurs du nombre devaut 

 lequel il est posc, il est clair que, si p marque un nombre premier, la valeur de yp sera = t -*-p: 

 excepte le cas ou /) = I , car alors nous avons yi = 1 , et non pas y 1 = 1 -♦- | ; d'ou lon voit 

 qu'il faut exclure Tunite de la suite des nombres premiers; etant le commencement des nombres 

 entiers, elle nest ni premier ni compose. Or, si le nombre p n^est pas premier, la valeur de J^p 

 sera plus grande que 1 -Hp. Dans ce cas, on trouvera aisement la valeur de J^p par les facteurs 

 du nombre p. Car soient a, 6, c, d, etc. des nombres premiers differents entreux , on verra 

 aisement que: 



fab — \ -^ a -\- b -\- ab = {i -k- a) {{ -\- b) = fa . fb 

 fabc =(l-4-a)(l-H6)(l-i-c) = /a./6./c 

 /a6cd = (l -f-a) (I -*-6) (1 -+-c) {i-^d) = fa.fb.fc.fd 



etc. 

 Pour les puissances des nombres premiers, on a besoin de regles particulieres, comme: ^ 



/ a = 1 -1- a -4- a^= —^ 



'' a — 1 



ra^= 1 H- a -f- a^-h- a' = ° ~. 



^ a— 1 



ct generalement /a"= — • 



Et par le moyen de celles-ci, on pourra assigncr la somme des diviseurs de chaque nombre, tout 

 compose qu'il puisse elre; ce qui sera clair par les formules suivantes: 



fa^b =fa\fb, 



fa^l? =fa\fh\ 



fa'b'c =fa\fb'.fc 

 et generalement fa^b^c^^e^^fa^.fb^.fcKfe^.fe^ 



Ainsi, pour trouver la valeur de /360, puisque 360 se resout dans ces facteurs 2*. 3*. 5, j'aurai 

 /360 = /2». 3\ 5 = /2\/3V/5 = 15.13.6 = 1 170. 



§ h. Pour mettre devant les yeux la progresslou des sommes des diviseurs, j'ajouterai la table 

 suivante, qui contient les sommes des diviseurs des nombres naturels depuis Tunite jusqu'a 100 



/1=1 /7=8 /13=14. /19 = 20 /25 = 31 /31=32 /37=38 



/2=3 /8=15 /U = 2* /20 = ^2 /26 = V2 /32 = 63 /38 = 60 



/3= V /9=13 /15 = 24 /21 = 32 /27 = 1^0 /33 = 48 /39 = 56 



/4=7 /10=18 /16 = 31 /22 = 36 /28 = 56 /34 = 54 /40 = 90 



/5=6 /11 = 12 /17 = 18 /23 = 24 /29=30 /35 = Ji8 /41 = 42 



/6 = 12 /12 = 28 /18 = 39 /24=60 /30 = 72 /36 = 91 /42=96 



