78 L. EULERI OPERA POSTHLMA. Arithmetica. 



/43= U /53= 54 /63 = 104 /73= 74 /83= 84 /93=128 



/44= 84 /54 = 120 /64 = 127 /74 = 114 /84 = 224 /94=144 



/45= 78 /55= 72 /65= 84 /75 = 124 /85=108 /95 = 120 



/46= 72 /56=120 /66=144 /76=140 /86=132 /96 = 252 



/47= 48 /57= 80 /67= 68 /77= 96 /87 = 120 /97= 98 



/48=124 /58= 90 /68 = 126 /78=168 /88=180 /98=171 



/49= 57 /59= 60 /69= 96 /79= 80 /89= 90 /99 = 156 



/50= 93 /60=168 /70 = 144 /80 = 186 /90 = 234 /100=217 



/51= 72 /61= 62 /71= 72 /81 = 121 /91 = 112 



/52= 98 /62= 96 /72 = 195 /82=126 /92=168 



Je ne doute pas que, pour peu quon regarde la progression de ces nombres, on ne desespere 

 presque d'y decouvrir le moindre ordre, vu que Tirregularite de la suite des nombres premiers s'y 

 trouve entremelee tellement, qu'il semblera d'abord impossible d'indlquer une loi quelconque dans la 

 progression de ces norabres , sans qu'on sache celle des nombres premiers ; et il scmble meme qu'il 

 y a ici beaucoup plus de bizarrerie encore que dans les nombres premiers. 



§ 5. Neanmoins j'ai remarque , que cette progression suit une loi bien reguli^re et qu'elle est 

 meme comprise dans lordre des progressions que les geometres appellent recurrentes, de sorte qu'on 

 peut toujours former chacun des termes par quelques-uns des precedents, suivant une regle constante. 

 Car si /n marque un terme quelconque de cette progression irreguliere, et /(/i — 1), /(/i — 2), 

 /(/i — 3), /(w — 4), /(/i — 5), etc. les termes precedents, je dis que la valeur de /w est toujours 

 composee de quelques-uns des termes precedents suivant cette formule: 



fn =/(n - 1) -^/{n - 2) -/(/» - 5) -/(/i - 7) -*-/{n - 12) -f-/(/i - 1 5) -/(/i - 22) 



— /(/i — 26) -i-/(/i — 35) -*-/(/i - 40) — /(/i — 51) ~/(/i - 57) -t-/(/i - 70) 



-f-/(/i — 77) — /(/i — 92) —/{n — 1 00) etc. 



Dans cette formule il y a a remarquer: 



I. Que dans Tordre alternant des signes -f- et — , chacun se repete deux fois de suite. 



II. La progression des nombres 1, 2, 5, 7, 12, 15, etc. quil faut successivement retrancher 

 du nombre propose n, deviendra evidente, des qu'on prend leurs difPerences: 



N. 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, etc. 



Diff. 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8 



car alternativement on aura tous les nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. et les nombres impairs 

 3, 5, 7, 9, 11, etc. Par ce moyen on pourra continuer la suite de ces nombres aussi loinque lon voudra. 



III. Quoique cette suite aille a rinfini, on n'en doit prendre, dans chaque cas, que les termes 

 depuis le commencement jusqu'au premier terme superieur a /i, et qui, par consequent, donnerait, 

 apres Ic signe /, un nombre n^gatif. 



