Lot relaitve a la somme des diviseurs des nombres, 81 



Je souhaitcrais qu*OQ trouvat un cheinin plus court et plus naturel pour y parvenir, et peut-^lre que 

 la consideration de la route que j'ai suivic y pourra conduire. 



§ 9. II y a long-temps que je considcrai, a Toccasion du prohl^me de la partition des nombres, 

 cette exprcssion: 



(l — jr) (1 — x^) (1 - x^) (1 — X*) (I —x') (1 — a;«) (!—«') (i—x*) 



la supposant continuce a linOni. J'ai multiplic actucUement un grand nombre de ces facteurs 

 ensemblc, pour voir la forme de la serie qui en resulte, et j'ai trouve cette progression: 



I — X — a;^-i-£c'-4-a;'' — a;*^ — a;**-f- a;^*-i- x^^ — a;'* — a;*°-H 



ou les cxposants de x sont les memcs nomhres qui entrent dans la formule precedcnte; et ^ussi les 

 signes -»- et — altement deux a dcux. On n'a qu'a cntreprendre cette multiph'cation et a la conti- 

 nucr aussi loin qu'on jugcra a propos, pour se convaincre de la verite de cctte serie. Aussi n'ai-je 

 pour toute prcuve quune longue induction, que j'ai du moins poussee aussi loin, que je ne puis 

 cn aucune manicre doutcr de la loi d'apres laquelle ces tcrmes et leurs cxposants sont formes. Jai 

 long-temps chcrche en vain a demontrer d'une maniere rigoureuse, que cette serie doit etre cgalc a 

 rcxpression proposec (1 — a?) (1 — x"^) (1 — x^). .. et j'ai adrcsse la meme demande a quclqucs-uns 

 dc mes amis dont je connais la force dans ces sortes de qucstions; mais tous sont tomhes avec moi 

 d'accord sur la verite de cette conversion, sans en avoir pu deterrer aucune source de demon- 

 stration. Ge sera donc une verite connue, mais pas cncore demontree, que si Ton ppse: 



5 = (1 — a;) (1 — aj") (1 — a;*) (1 — x*) (1 — x') (i — x') 



la meme quantite s pourra aussi etre exprimee en sorte: 



5=1 — X — x"^ -i- x^ -i- x'' — a;** — a;**-i- a;"-f- x^^ — a?*' — x*^. ... 

 Car chacun est en etat de se convaincre de cette verite par la resolution actuelle a tcl point qu'il 

 souhaitera, et il parait impossible que la loi qu'on a decouverte dans 20 termes par excmplc, ne 

 soit pas cgalcment vraie pour tous les suivants. 



§ 10., Ayant donc decouvcrt que ces deux exprcssions infinies sont cgalcs, quoique regalite 

 ne puisse etre demontrcc, toutcs Ics conclusions qu'on pourra dcduire de cette egalite scront de 

 meme naturc, c'est-a-dire vraics sans etre demontrees. Ou, si Tunc quclconque de ces conclusions pouvait 

 etrc demontree, on en pourrait reciproqucment tirer une demonstration de regalite mcntionnee; et 

 c*est dans cctte vue que j'ai manie de plusicurs maniercs ces deux expressions, par ou j'ai ete conduit 

 entr'autres a la decouvcrte que je viens dexpliqucr, et dont la verite doit etre aussi ccrtaine que 

 celle de regalite de ccs deux exprcssions. Voila de quclle maniere j'ai opere. Ces deux expressions 

 etant egales: 



I. 5 = (1 — x) (1 — a;^) (1 — aj») (l — x*) (1 — x') (1 — aj«) (1 — aj') . . . . 



II. s=i—x — x^H- a;*-f- x'— aj^^^— aj**-*- x"h-x"— • a;**— aj" -f- 



pour delivrer la premiere des facteurs, j'en prends les logarithmcs, d'ou jc tire 



/5 = ^(1 —a,-)H-i(l —a;^)-Hi(l — x^) -h- 1 {i — x*) -*- l [i — .x*) h- 



Maintenant pour climincr les logarithmes, j'en prcnds les differcnlielles, ce qui donnera cette equation: 



li. E u le ri Op. posihum.^. T. I. 



