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L. EULERl OPERA POSTHUMA. 



Arilh metica. 



ds 



s 



cLe 



2rda; 



Sx^^dx Ax^dx 



5 r'* dx 



1— «5 



1 — X- 1 — x^ 1 — x* 



que je divise par — da; et multiplie par a;, pour avoir: 



a;d« X 2«* 3aj' 4a;* 



«da; \ — x i — x^ 1—«' \ — x* 



La seconde valeur de la meme quantite s donne par la differentiation: 



ds = — dx — 2xdx-\~ ^x*dx-i- Ix^dx — i2x^^dx — 15a;**da?-*-. . . ., 

 de laquelle, en la multipliant par — £c et divisant par sdx, on tirera une autre valeur de — 



x-i-^x^ — 5a;^ — 7a;^-i-12a;^2_^_ 15^15 _ 22a;*2 _26a;2 6_^_ ^ ^ ^ 



xds 

 sdH 



qui sera 



xds 

 sdx 



1 — X — x^-i-x^-i-x'' — a;^^ — a!^^-+-x^^-i-a;^^— . . . 



xds 



§ 11. Soit la valeur de — — ty et nous aurons deux valeurs egales pour cette quantite / 



I. 1 = 



2a;* 



3a;3 



Ax^ 



5a;= 



6a;« 



1 —X 



\-x' 



1— a;" 



1-a;^ 



1-a;^ 



II. f = 



-2a;2 — 5a;5 — 7ar'-+-12a;^2-t-15a;^^— 22a;^2_26a;26. 



• a; ^ '-»- a;* *-t-a; ""' — .. . 



I — X — x^-^x^-\-x'' — x^^- 



Je resous chaque terme de la premiere expression en une progression g;eometrique par la division 

 ordinaire, et j'obtiens: 



t=:x-\~ cc^-i- aj'-*- a3*-4- aj*-t- x^~\~ x^-+- x^-i- x'*-^- x^^-t- x^^- 



X 



,12 



■2a;' 



3x' 



2x' 



kx* 



5x' 



■2x' 

 3x^ 



^x' 



■2x* 

 ■\x* 



2x 



10 



3a;' 



2x''^- 

 '3aj'*- 



5a;» 



H- 6a; 



.r.»2. 



7a;' 



8a;' 



ea?" 



lOaj^ 



lla; 



u 



12a; 



it 



oii il est aise de voir, que chaque puissance de x se rencontre autant de fois, que son exposant a de 

 diviseurs, puisque chaque diviseur devicnt un coefficient de la meme puissance de x. Ainsi, reunissant 

 tous les termes homogenes dans unc meme somme, le coefficient de chaque puissance de x sera la 

 somme de tous les diviseurs de son exposant. Et partant, exprimant ces sorames de diviseurs par 

 la preposition du signe /, ainsi que je Tai fait ci-dessus, j'ohtiendrai pour t la serie qui suit: 



t =/1 . X -h/2 . x'-^-/^ . x^^-^fh . a?*-i-/5 . a)«-*-/6 . x^-\-fl . a;'-H 



dont la loi de progression est tout a fait manifeste; ct, quoiqu'iI semble que Tinduction ait quelque 

 part dans la determination de ces coefficients, pour peu que Ton considere Texpression infinie 

 prccedenle, on s'assurera aiscment de la necessite de celte loi de progression. 



