Zot relalive d la somme des dwiseurs des nombres. 83 



§ 12. Substituons cette Yaleur au lieu de t dans la seconde exprcssion de cette meme lettre «, 

 qui, d61ivree des fractions, se reduit a cette forme: 



t ( 1 — X — x^-h- a;'-4- x'' — a;** — a;"-!- a;*^-+- x'^^ — ) 



— a; — 2x*-t- 5a;'-f- Tcc'— 1 2aj**— 1 5x' *-h 22a;^*-i- 26«^'- >=^^ 



J 



Maintenant la valeur preccdente etant mise dans cette equation, nous trouverons: 



=/ f . X -I-/2 . a!*-i-/3 . x^-i-fk- . cc*H-/5 . aj»^/6 . £C«-h/7 . £c'-4-/8 . a;»-f-/9 . a;'-*- . 



— X — /i . a;^— /2 . (c*— /3 . cc*— /* . £C*— /5 . aj«— /6 . «'— /7 . x'—/S . aj»— . 



_. 2x''—f 1 . a;«— /2 . a;*— /3 . x'-^f^ . aj«— /5 . a?'— /6 . a;*— /7 . a;'— . 



-+- 5x'-+-fi . a3«-*-/2 . 3c'-fr-/3 .a;«-i-/?|. . x^-*-. 

 -»- 7a;'-+-/l .a;«-f-/2.aj'H-. 

 etc. 

 Ici il est aise d'observer que les coefficients de chaque puissance de x sont les sommes des diviseurs 

 dabord de Texposant de cette puissance meme, et ensuite, des autres nombres plus petits qui 

 resultent si Ton ote successivement de Texposant les nombres 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, etc. 

 Ensuite, si Texposant de la puissance de x est egal a un terme de cette scrie numerique, alors ce 

 meme terme accompagne encore les coefficients. En troisieme lieu, lordre des signes n'a besoin 

 d'aucun eclaircissement. Ainsi, ou conclura en g-eneral que la puissance x" aura ces coefllcients : 

 //i-/(/i-l)-/(/i-2)-t-/(n-5)-i-/(Ai-7)-/(n-12)-/^/i-15)-H.... 



jusqu'a ce qu'on ne parvienne a des nombres negatifs. Mais si Fun quelconque de ces nombres devant 

 lesquels se trouve le signe /, devient = , alors il faut mettre a sa place le nombre n meme , de 

 sorte que dans ce cas, il y a /0 = /i et le signe de ce terme suit Tordre general des autres. 



§ 13.' Aiusi donc, puisque rexpression infinie du § precedent doit etre ^gale a zero, quelque 

 valeur que Ton donne a la quantite x, il faut de necessite que les coefficients de chaque puissance 

 a part, pris ensemble, soient egaux a zero, et partant nous aurons les equations suivantes: 



I. /l_f-_=0, \ //1 = 1, 



II. /2-/1-2 = 0, 1 1/2 =/!-»- 2, 



III. /3-/2-/1 = 0, / \/3=/2-+-/l, 



IV. /V -/3 -/2 = 0, \ ou Jfk. =/3 H-/2, 



V. /5-/4-/3-1-5 = 0, l J/5 =/4-4-/3 -5, 



VI. /6-/5-/4-4-/1=0, \ f/6=/5-+-/4-/«, 



VII. /7— /6— /5-^-/2 -f- 7 = 0, j \^/7=/6-4-/5— /2 — 7, 



etc. etc. 



et goncralement nous aurons: 



=fn -An - 1) -/(/i - 2) -»-/(a - 5) -4-/(;i - 7) -/("i - 1 2) -/(/i -15).... 

 ct par couscqucnt 



