quaecunque nutneri primi />, quicunque sit ejus exponens, erit semper y^= ^"~ » Si igitur sit a 

 potestas binarii , erit A = 2a — i ; sin sit a potestas ternarii , erit A = °~ 7 sin potestas quinarii, 

 erit A = — ^ et ita porro. 



T)e numeris amicabilibus. 87 



IIoc onim casu, cum unitas cujusquc numeri tam divisor quam pars aliquota censcri soleat, erit 

 quoque A = i et partium aliquotarum summa = 1 putatur. Verum cum unitas in hujusmodi 

 quaestionibus non inter numeros collocari soleat, haec exceptio nuUam difficultatem afferet. 



§ 5. IIoc igitur litterarum significatu praemisso, cum numerorum primorum nuUa detur pars 

 aliquota praeter unitatem, et quilibet numerus primus alios non habeat divisores praetcr unitatem et 

 se ipsum, si a fuerit numerus piimus, erit A = a-\-i. Atque si a fuerit quaepiam potestas 

 numeri primi /), summa divisorum ejus A facile assignari poterit. Sit enim a = p^, erit utique 

 A = i -i-p-i-p^; ac si a=p^, erit A = i -i-p -t-p^-t-p^. In genere autem, si denotante p 



numerum primum quemcunque fuerit a=p", erit ^= 1 -+-/)-*- /)^-*- -+-/>", qui divisores 



cum constituant progressionem geometricam, erit quoque: A = Unde si a fuerit potestas 



pa— \ 



P 

 A. 



2 

 - et ita porro. 



§ 6. Quodsi a fuerit productum ex duobus diversis numeris primis p et q, puta a=pq: erit 

 summa divisorum A= i -i-p-\- q-t-pq = (i -t-p) (i -i^ q). Simili modo si plures habeantur nu- 

 meri primi diversi /) q, r, s, etc. fueritque a=pqr, erit ^ = (I -1-/)) (I -f-ry) (1 H-r), et posilo 

 a = pqrs, erit A = {i -^ p) {i -v- q) {{ -^ r) [i -\- s) . Cum autem sit/)-+-l=P, q-\-i = Q, 

 r-^i=R, etc, si fuerit a=pq, erit A=PQ, et si sit a=pqr, erit A=PQR, etc. ; quae expres- 

 sionum similitudo non solum locum habet, si /), q et r sint numeri primi diversi, sed etiam dummodo 

 fuerint numeri primi inter se, ut praeter unitatem nullum alium divisorem habeant communem. Si 

 enim sit P summa divisorum numeri p, et Q summa divisorum ipsius q, atque hae summae P et Q 

 praeter unitatem nullum numerum communem contineant, tum productum a=pq primo eosdem 

 habebit divisores, quos factor p, quorum summa est = P; deinde divisores quoque habet numeri 7, 

 quorum summa est =Q; in quibus quoniam unitas bis occurrit, summa utrorumque divisorum erit 

 = P-*-Q — 1. Tertio productum pq divisibile erit per singula producta ex binis divisoribus 

 numerorum p et q, exclusa utrinque unitate; horum autem compositorum divisorum summa erit 

 = {P — ^) {Q — ^) = PQ — P — Q-*-^, quae cum summa simplicium P -^ Q — 1 facit PQ; ita 

 ut posito a=pq, sit A = PQ. 



§ 7. Cum igitur omnis numerus sit vel primus, vel productum cx aliquot primis, eorumve 

 potestatibus , ex resolutione numerorum in factores facile eorundem summa divisorum cognoscitur. 

 Positis enim p, q, r, etc. numeris primis, omnis numerus in hujusmodi forma continebitur: 



a^p'"^"^ Cum igitur factoris p'" summa divisorum sit = — ::jr ^ ^^ factoris q" sit 



= ' — — — 5 ipsiusque r summa divisorum sit = r— 5 ob istos faclores p'", q", r , inter se 



primos, erit uumeri propositi a^p^^q^r^ . . . . summa divisorum 



J — (P"*"*~^- I)( g"-*"^— IXr^-^^-i) 

 — (jp— l)(j_i)(r-i) 



Hocque modo ut ipsc numerus a per factores exprimitur, ita quoque summa ejus divisorum, por 

 factores expressa, reperietur: quod in plerisque hujus generis quaestionibus resolvendis non parum 



