88 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmettca. 



habet utilitatis. Quo igitur facilius summac divisorum quorumvis numerorum inveniri atque ipsi per 

 factores exprimi queant, in tabula annexa non solum omnium numerorum primorum millenario 

 minorum, sed etiam eorum potestatum, quarum quidem usus occurrit, quantumque calculi molestia 

 id permisit, summae divisorum exbibentur in factores resolutae: ita ut ope hujus tabulae omnium 

 numerorum compositorum , nisi fuerint nimis magni, divisorum summae facile excerpi queant. Ita si 

 propositus sit numerus « = 7560: hic numerus primo per factores primos exprimatur hoc modo 

 « = 2^.3*. 5. 7. Deinde horum factorum singulorum summae divisorum in tabula quaerantur, qui 

 erunt: 3.5; 2^.5; 2.3 et 2': hisque invicem multiplicatis prodibit summa divisorum numeri pro- 

 positi « = 7560, quaesita ^ = 2'. 3^. 5^= 28800. Ex quo exemplo usus istius tabulae in summis 

 divisorum quorumvis numerorum inveniendis abunde perspicitur. 



§ 8. Hinc inventio numerorum perfectorum nulla laborat difficultate: cum enim numerus 

 perfectus vocetur, qui aequalis summae suarum partium aliquotarum, si numerus perfectus ponatur 

 = «, oportebit esse a = A — «, ideoque A=2a. Jam numerus perfectus « vel est par, vel 

 impar; priori casu ergo factorem habebit 2, ejusque quampiam dignitatem. Sit igitur « = 2"6, erit 

 J = {2"-*-'—i)B, ideoque (2""^*— 1) iB = 2"-^*6, unde fit j = J^^^ . Cum igitur fractio 

 g^y^ ad minores numeros reduci nequeat, necesse est ut sit vel 6=2""^* — 1, vel 6 = (2""*'' — \)c. 

 Prius autem fieri nequit, nisi sit 2""*"* — 1 numerus primus, quia summa divisorum esse debet 

 _2«-+-i^ ideoque summa partium aliquotarum =i: quoties vero est 2""^* — 1 numerus primus, 

 toties posito 6 = 2""*"* — 1, erit ^ = 2"'*"*; hincque numerus perfectus erit « = 2"(2"-*"* — 1). 

 Sin autem pro 6 sumeretur multiplum ipsius 2""*-* — 1, puta (2""*-* — l)c, ejus partes aliquotae 

 forent 2""*-^ — 1 et c; unde omnium divisorum summa B certe non minor esset quam ^''^^-^c-i-b; 

 talis enim foret, si tam c quam 2""*"* — 1 essent numeri primi. Fractio ergo -r- non minor esset 

 futura quam ^JHlsp^, hoc est quam ^^^^» ob 6= (2""^^- i) c. At fractio |^S^^ 

 necessario major est quam ^nn-i _ | ^ "^de pro numero 6 multiplum ipsius 2""*"' — I accipi nequit. 

 Quamobrem alii numeri perfecti pares rcperiri non possunt, nisi qui contineantur in formula prius 

 inventa « = 2" (2"'*-*— 1), existente 2""*"*— 1 numero primo; haecque est ipsa regula ab Euclide 

 praescripta. Utrum autem praeter hos dentur numeri perfpcti impares nec ne, difficillima est quaestio: 

 neque quisquam adhuc talem numerum invenit, neque nullum omnino dari demoustravit. Sin autem 

 hujusmodi numeri perfecti darentur, ii necessario in hac formula: Ctm -4- 1) *"■+"* a;a? continerenlur, 

 ubi km-i- i denotat numerum primum et x numerum imparem. 



§ 9. Longe difficilius autem reputatur problema de numeris amicabilibus inveniendis, in quo 

 requiruntur bini numeri, quorum alter aequalis sit summac partium aliquotarum alterius. In hoc 

 problemate solvendo etsi Schotenius summo studio est versatus, tamcn plura quam tria hujusmodi 

 numerorum paria non invenit, quae sunt: 



220 et 28'+ 



17296 et 18M6 



9363584^ et 9^37056 



