De numerts amicahHihm, 89 



atqne methodus, qua est usus, ita est comparata, ut vix plures nuraeri satisfacientes ejus ope inveniri 

 queant. Assumsit enim pro numeris amicabilibus has formulas gcneralcs 2"a3 et 2"/z, in quibus 

 oumeros a?, y et z ponit primos, sumtisque successivc pro n numeris dcterminatis, tentando invcstigat 

 casus, quibus numcri primi pro a?, y^ z substituti quaesito satisfaciant. Ncmo autem putabit, omnes 

 numcros amicabilcs in his formulis contincri, quippe quod non solum a Schotenio non est de- 

 monstratum, scd ctiam sequcntes numeri amicabiles, quos equidem invcni, abunde declarant. Namque 

 practer tria illa paria modo mox exphcando, sequcntcs adcptus sum oumcros amicabiles: 



A.5.131 et kATM 



4.5.251 et 4.13.107' 



16.17.5119 et 16.239.383 



4.11.17.263 et 4.11.43.107 



32.37.12671 et 32.227.2111 



4.23.827 et 4.23.5.137 



quin etiam numeri cxhiberi possunt impares, quod quidcm multo magis mirum videri queat, qui 

 praescripta proprietate sint pracditi, cujusmodi sunt: 



3\7.13.5.17 et 3^.7.13.107, 

 3*.7M3.5.41 et 3\7M3.251, 



ex quibus satis liquct numeros amicabilcs multo csse copiosiores, quam numeros pcrfcctos, qui in 

 serie numerorum rarissime occurrunt. 



§ 10. Hi autcm numeri aliique salisfacientes non difficulter ope modi signandi ante expositi 

 eliciuntur. Sint enim a et 6 bini numeri amicabiles quicunque, qucmiam eorum summae divisorum 

 sunt A ct B, summaeque proinde partium aliquotarum A — a et B — 6; conditio horum numerorum 

 praebet has aequationes: A — a = b et B — b = a, unde fit A = B = a-i-b. Ambo ergo numeri 

 amicabiles eandem habcnt divisorum summam, quae simul summae amborum numerorum est aequalis. 

 Quo autem ad aequationes idoncas solutio pcrducatur, ponamus numeros amicabiles csse px et qy, 

 existentibus £c et j numeris primis, ita ut sit a=px et b = qXy eritque 



^==P(x-i-l) et B = Q(y-i-i): unde fit P (x -t- i) =Q {y -t- i) == px -t- qy, ie; 

 Ponatur P(a;-f-l) = !2(rH-l) = PQz ; erit x -^- i = Qz et y -*- i = PZy seu x=Qz — 1 et 

 y = Pz — 1. Cum vero esse debeat PQz = px-^.qy^ erit valoribus his pro x et f substitutis: 



PQz = Qpz^p-i-Pqz---q, ideoque z=- ^^^^l_p^ ' 



Quare ut formulae assumtae px et qy praebeant numeros amicabiles, esse oportet; 



^■'^^^ ' j Q{p-*-q) . A Pip-*-q) 



X-*- i = — ~ — et r -*- 1 = — — — • 



Qp-t-Pq-PQ *"' J ^ '^ Qp^pq-PQ 



Sit n maximus commuois divisor numcrorum px et qy, ponaturque p = na et q = nb, ut sit 

 P = NA et i2 = ^^ ? et pro numeris amicabilibus has habebimus formulas 



nax et nby^ 

 in quibus x et y esse debcot oumcri pnoai, qui ex his aequatiooibus definiantur; 



L. Enleri Op. poctboma. T. I. |2 



