102 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



dico eandem proportionem ita exprimi posse, ut sit 



, rr-t-ss xx-i-yy 



a:o= : j 



rs xy 



convenientia enim perspicua reddetur sumendo x = p$±qr et y = prz^ qs. 



32. Posito enim x = ps±qr et y=przjfiqs, erit 



XX -i- yy = (pp -t- qq) {rr -+- ss) et xy = {ps dt qr) {pr z^: qs) , 



, n, rr-t-ss xx-t-yy rr-t-ss (pp-t-qq)irr-*-ss) 



unde lit : = : . . w r 



rs xy rs {jas±qr){prz:izqs) 



. , rr-t-ss xx-t-yy (pszt:qr)(prz+iqs) 



ideoque : — = - — ^ 'PP-^m^ 



^ rs xy rs 1 1 j x 



quae est ipsa ratio, quam formulae nostrae inter a et 6 praebuerunt. 



33. Quare si a, 6, c sint latera trianguli, cujus area rationalis, inter biua quaeque alia ratio 

 cxistere nequit, nisi quae intercedat inter binos numeros formae ^ » Ac si duo latera aliam 

 inter se teneant rationem, nullo modo tertium latus inveniri potest, quod cum illis aream rationalem 

 includat. 



34-. Quomodo erg-o hae rationes, quae inter bina latera trianguli aream rationalem habentis 

 intcrcedere possunt, sint comparatae, et quaenam hinc excludantur, haud abs re erit diligentius 

 inquirere. Considerari ergo primum oportet fractiones in forma — ; — j vel potius in hac -^-~ 

 contentas. 



35. Haec autem fractio -^^^ ^^^ numeratore habet hjpothenusam trianguli rectanguli ratio- 

 nalis pro 



49. Huic problemati affine est istud: 



Invenire triangulum, in quo rectae, ex singulis angulis ita ductae, ut latera opposita 

 hifariam secent, per numeros rationales exprimantur; 



quod autem illo ideo difficilius est judicandum, quoniam non generaliter solvi patitur. Positis a, 

 6, c lateribus trianguli, negotium huc redit, ut tres istae formulae 



2aa -1-266 — cc, 2aa-i-2cc — 66, 266-f-2cc — aa 

 reddantur quadrata. 



50. Si in hunc (inem ponatur 



a = {m -\- n) p -^ {m — n) q, h = {m — n) p -h (/n -\-n)q, c = 2mp — \2nq, 

 ut formula prima qiladrata evadat; pro reliquis ad quadratum revocari debent hae formulae 

 i^ - mmf , n^i {Zm -+- n)^pp — 2 {3mm -+- Smn — dnn) pq -f- (3/i — w)^ qq et 



{3m — n)^ pp — 2 (3/m -♦- 8/n/i — 3mm) pq -+- (3/i -h m)'^ qq 



