Problema Diophanteum. 105 



V. 



Reehcrehcs siir lc probl(Miic dc trois iioiiibrcs earres tcls, qiic la 

 soiimic dc «lcux qucleoiiqiicjs, iiioins lc troisi^mc, fassc un 

 nouibrc earr^. 





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i. Soient cc, y, z les racines des trois carres, les equations seront 



yy -^ zz — XX = pp , 

 XX-+- zz — yy = qq^ 

 XX •+- yy — zz = rr. 

 Si Ton ajoute ces equations deux a deux, elles produiront les equatiohs suivantes: 



pp-^-qq = 2zz, 

 pp-\-rr = 2yy, 

 qq -t-rr = 2xXj 



d'ou Ton vojt qu'en resolvant notre probleme, celui-ci sera aussi resolu: tromer trois nomhres 

 carres telSy que la demi-somme de deux qttelconques d'entre eux produise aussi un earre; puisque 



.^ "~ •^^' pp-\-qq pp-i-rr ^ * '""'■ . qq-t-rr 



"^^-^^zz, ^-^-^ = yy et ^^ = a^. 



2. De plus il est evident, qu'ayant trouve les trois nombres £c, j, z, tous leurs multiples satis- 

 feront pareiilement, savoir: nx^ ny, nz. De sorte que tous ces cas ne renferment qu'une seule 

 solution, et par consequent, nous ne chercberons, dans la suite, que trois nombres tels, qu'ils n'aient 

 aucun diviseur commun. D'ou il est d'abord evident, que tous les trois nombres chercbes ne seront 

 pas pairs. Or, avec quelque attention, on verra de suite que ces trois nombres doivent etre tous 

 impairs; car tout carre pair est de la forme kaa, et tout carre impair de la forme ^(aa -*-«)-*-!; 

 donc si nous supposons deux de nos carres pairs, c'est-a-dire - 



*" * xx=: kaa, y = kbb et le troisieme impair: zz = % (cc -t- c) -*- 1,^^'-^^ ^' i " ^ 



11 en resultera pour xx-+-yy — zz cette expression 4 {aa -t-bb — cc — c) — f , qui ne saurait 

 Jamais etre un carre. Si nous supposons ensuite deux seulement impairs et le troisi^me pair, comme 



XX = k {aa -i- a) -t- i , y = k {bb -\- b) -^ i, z = hcc, 

 nous aurons pour xx-%-yy — zz cette expression k {aa -t- a -t- bb -¥- b — cc)-+-2, qui ne saurait 

 uon plus etre un carre. Mais posant tous les trois carrcs impairs, par exemple 



XX = k {aa -t- a) -*- i , yy = k {bb -t- b) -t- i , r = 4- (cc h- c) -*- I , 



L. E a le ri Op. poilhama. T. L * * 



