f06 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Anthmettca. 



nous aurons pour xx-^yy — zz la forme ^ (aa -*- a -+- 66 -+- 6 — cc — c) -i- i , qui peut representer 

 un carre. 



3. Cette consideration nous montre d'aborcl, que si Ton voulait chercher quatre nombres carres 

 tels, que la somme de trois molns le quatrieme fasse un nombre carre, la recherche serait inutile, 

 puisque la question est absolument impossible. Pour le prouver, on n'a qua parcourir tous les cas 

 par rapport aux pairs et impairs. En effet, 'tffO'I4r '^* '3'^^ >"' -^ 



i) si trois carres sont pairs, savoir: ';"r^ -- 



XX = kaa , yy = 466 , zz = kcc et vv ==k {dd -*- d) -i- 1 , ' ^ 

 on aura pour xx-\-yy-\-zz — vv la valeur h {aa -^hh-\-cc — dd — d) — 1 , qui ne peut jamais 

 etre un carre. 



2) Soient seulement deux pairs et deux impairs, ou bicn 



XX = kaa , yy = hhh , zz = 4 (cc -*- c) h- 1 , vv = h (dd -f- c2) h- 1 , 

 on aura pour xx — yy-t-zz-t- vv cette formae k {aa — 66 -h cc -i- c -h dd -h d) -*- 2 , qui ne peut 

 jamais etre un carr6. 



3) Supposons a present un seul carre pair, savoir .. . m -^ 

 XX = kaa , yy = k (hb -t- 6) -i- 1 , zz = k (cc -\- c) -*- i , vv = k (dd -+- d) -♦- 1 , 



nous aurons pour yy -\- zz -{- vv — cccc la forme k (hh -\:-b-v-cc-i-c-\-dd-\-d — aa)-i-3, qui encore 



n'est jamais un nombre carre. 



., , k) Enfin soient tous les quatre nombres impairs, c'est-a-dire 



£C£c = 4- (aa -I- a) -i- 1 , jj = 4- (66 -*- 6) -i- 1 , zz = k (cc-^c) -v-iy vv = k (dd-\-d)-\- ii,, 

 on aura pour xx-\-yy-\-zz — vv la valeur k (aa -\-a-i-bh-t-h-\-cc-i-c — dd — d)-4-2, qui 

 ne peut non plus representer un nombre carre. 



k. Apres ces considerations, examinons de quelle maniere on pourrait arriver a une solution 

 du probleme propose. Pour cet eflfet je remarque, que nos deux premi^res equations peuvent etre 

 repr^sentees sous cette forme generale 



zz dt (yy — xx) = a un carre quelconque. 



Or AA-\-BB±2AB est toujours un carre parfait; donc, comparant cette formule avec la precedente, 

 nous aurons zz = AA-\- BB^ yy — xx = 2AB^ et pour rendre AA -+- BB un carre parfait il ne 

 faut que supposer A = aa — 66 , B = 2a6, et nous aurons zz = (aa -t- 66)^*; donc z = aa-\- 66. 

 D'apr6s ces suppositions, la valeur de yy — xx sera W6 (aa — 66). Mais yy — xx etant le produit 

 de ^-t-cc par y — a?, et kah (aa — 66) le produit de 2a6 par (2aa — 266), on v^rifiera r^quation 

 yy — XX = kah (aa — 66) en prenant y-\-x = 2ab, y — x = 2aa — 266 ; donc 



a» = 66 -1- a6 — aa et ^ = aa -i- a6 — 66. 

 Ainsi, en prenant pour les valeurs de ac, ;y et z les expressions 



I / bpjt-ab — aa^ aa-\-ab — 66 et aan- 66, 



