Problema Diophanteum. ■ 107 



les deux premit^res ^quations seront satisfaites. II ne s'agit donc que de satisfaire aussi a la troisieme 

 ^quation qui, par la substitution de ces valeurs de jt, y^ z, devient 



xx-^yy — zz = a*-*-6* — kaabb = rr. 



5. Tout revient donc a trouver pour a et 6 de tels nombres, que la formule a*-*-b* — kaabb 

 devienne un carre. II est facile de remarquer que cette condition sera remplie, si Ton prend a = 2b. 

 Pour trouver une autre solution de Tequation a*-*-b* — kaabb = rr^ posons a = 6(z-4-2), et nous 

 aurons a*-4-6* — ^aa66 = 6* (2*-h 8z*-*-20z*-i- 16z-h I). Supposons que la racine de cette 

 expression soit 6* (zz -*- 8z -*- 1). En comparant le carre de 



6* (zz -t- 8z -4- 1) avec 6* (z*-f- 8z»-*- 20z*-f- 16z -h i), 



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 on trouvera 8z*-*- 46zz = 0; d'oii Ton tirera z = ^j-j 



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par consequent z-i-2 = — — et a = — • Or, puisqu'il est indifiPerent que les valeurs de 



a et 6 soient positives ou negatives, nous prendrons a=15, 6 = 4, et nous aurons a;=14.9, 

 ^=269, ^ = 25^1, qui paraisscnt etre les plus pctits nombrcs cherches. De la, par consequent, nous 

 trouverons /) = 329, 9=89, r= 191. 



6. Comme cette solution est tiree de requation yy — xx=kab{aa — 66), par la decomposition 

 du second membre en ses facteurs 2a6 et 2(aa — 66), il s'en suit qu'on pourrait exprimer gen^rale- 

 ment les valeurs de y et x de cette manicre: j-i-£c = — a6 et y — x= — (aa — 66). Mais, apres 

 des calculs tres penibles, on ne parviendrait qu'a des solutions tres particulieres. La supposition la 

 plus simple est j -i- aj = 2a (a -4- 6) , y — a; = 26 (a — 6) ; d'ou nous tirons 



yy-t-xx=:2 {a*-*- 2a'6 -*- 2aabb — 2a6^-*- 6*). 

 De la, pour la valeur de rr = yy-i-xx — zz^ nous trouvons a*-f- 4^*6-4-2^^66 — kab^-^b* qui 

 est le carre complet de aa -»-2^6 — 66; donc les valeurs de a et 6 sont entierement arbitraires. 

 Mais si Ton considere les valeurs de (c, y et z, qui sont aa-^bb, aa~+-2ab — 66 et aa-^bb, on 

 trouvera que cc et z sont egaux, et par cette raison la soiution ne saurait etre admise. 



7. On pourrait employer encore bien dautrcs methodcs pour la solution du probleme. Mais 

 toutes ces methodes ont le grand dcfaut de ne donncr que des solutions tres particulieres, et cela 

 apres des calculs tres longs et tres difficiles. Cest pourquoi j'exposerai ici quatre methodes tout-a- 

 fait singuliercs, et qui, sans beaucoup de pcine, fourniront une infinite de formules generales pour 

 exprimer les trois nombres x^ y et z, lesquelles, a leur tour, donneront une infinite de solutions. 

 Cependant, il s'cn faut de beaucoup que toutes ces formulcs conticnnent toutes les solutions possibles. 



Methodes faciles pour trouver des solutions plus g^^n^rales. 



Premiere melhode. 



8. Si nous supposons s = xx -\- yy -k- zz ^ nos cquations (1) deviendront 



s — 2xx = ppy ou s=pp -^ 2xXy ' 

 S — 2yy=qq^ ou s = qq-¥-2yy, 

 s — 2zz = rr^ ou s = rr -f- 2zz, 

 d'oii Ton voit que s doit etre, de trois mani^res diffcrentes, la somme d'un carre et d'un double carre. 



