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L. EULERI OPERA POSTHUMA. 



Ariihmetica. 



9. Considerons donc plus soigneusement lcs nombres contenus dans cette forme aa -+- 266. 

 Je remarque premierement que, lorsqu'un tel nombre est premier, 11 ne peut avoir cette forrae que 

 d'une seule maniere; car s'il etait resoluble de deux manieres, de sorte que s — aa-\-2hh et aussi 

 s = cc-\-2dd, il s'en suivrait que aa — cc = 2dd — 266 et par consequent ^^ = -^-^^. Or 

 puisque ces deux fractions sont egales , supposons qu'apres avoir ete reduites aux plus petits termes, 

 elles soient — • De la nous aurons - — - = — ? ou a-i-c = mf, d-^-b = nf; pareillemen* 



^ " ' = — et d — h = mg, a — c = ^ng^ et par consequent 2a = mf-^- 2ng^ 26 = nf — mg. 

 Mais puisque hs = haa -v- %hh , en substituant, au lieu de 2a et 26, leurs valeurs, nous aurons 

 ks = ff {mm -4- 2nn) -f- 2gg {mm h- 2nn) , ou bien hs = (^h- 2gg) {mm-i-2nn) , ce qui ne peut 

 avoir lieu, s etant un nombre premier. 



10. II suit de la que s ne saurait etre un nombre premier, et il est demontre qu'un nombre 

 de la forme aa-f-266 ne peut etre divisible que par des nombres de la meme forme, lorsque a 

 et 6 sont premiers entre eux. Ainsi s est le produit de deux ou de plusieurs nombres premiers de 

 la meme forme aa-4-266. Mais 11 est facile de remarquer, que deux facteurs premiers ne suffisent 

 pas pour produire une triple resolutlon; donc s doit avoir au moins trois facteurs premiers de la 

 forme aa -t- 266. 



11. Observons ici que tout nombre impair de la forme aa-4-266 est toujours de la forme 

 8/1-4-1 ou 8/1-4-3, et que lorsque le nombre est pair et de la forme aa -4- 266, II est le double 

 de Tune ou de Tautre de ces deux formules. La forme aa -t- 266 se rapporte au premier cas, 

 lorsque a est impair, et au second, quand a est pair. Ainsi, tout autre nombre impair ou de la 

 forme 8/i -i- 5 ou 8/i -i- 7 est entierement exclu du nombre des diviseurs de la forme aa -t- 266. 

 Donc tous les nombres qui sont divisibles par quelques-uns de ceux-ci: 5, 7, 13, 15, 21, 23, 29, 

 31, 37, 39, 45, 4^7, 53, 55, etc. ne peuvent pas etre compris dans la forme aa -4- 266, ou nous 

 supposons a et 6 premiers entre eux. 



12. II est tres remarquable que tous les nombres premiers, tant de la forme 8/1-4-I que 

 8/1-4-3, sont toujours reductibles a un carre plus le double d'un carre, mals d'une seule maniere: 

 en voici des exemples 



