Problema Dtophantetim. 109 



-13. Dans toutes ces docompositions on ne saurait dccouvrir le moindre ordre, et pourtant il 

 n'y a pas de doute que cela n'ait lieu pour tous les nombres de la forme 8« -f- 1 ou Sn -+- 3 , et 

 c*est ce qu'on peut meme demontrer rig-oureusement, Pour cct effet, il ne s'agit que de prouver 

 qu'ctant propose un nombre quclconque, premier, de la forme 8/n- 1 ou 8rt-*-3, on peut 

 toujours assigner un produit de la forme aa-¥-2bb qui admetle Tun ou Tautre pour facteur. Cette 

 dcmonstration se tire d'un tr6s beau theoreme de Fermat, savoir: que la forme c*"' — 1 est tou- 

 jours divisible par le nombre 2/» -i- 1 , lorsque celui-ci est premier et ne divise pas c. Par 

 consequent, si le nombre 8n-f-l est premier, il sera toujours un facteur de la formule c'" — 1, 

 quel que soit c, pourvu qu'il ne soit pas un multiple de 8n-*-l. Mais comme la quantite 

 c'" — 1 a deux facteurs qui sont (c*"-i-l), (c*" — 1), il faut donc que Tun ou Tautre soit divisible 

 par 8n-*-l. Par consequent, si nous prenons pour c un nombre qui ne rende pas c*" — 1 multiple 

 de 8n-Hl, le nombre c*"-»- 1 sera neccssaircment divisible par 8n-f-l. Mais la formule c*"-*- 1 

 peut etre ecrite ainsi (c^" — I^^h-^c*"; donc le nombre 8/1-1-I est diviseur de la forme aa-4-266. 



1 k: Quant a Vautre formule 8n -1- 3 , chaque nombre premier de la forme 8/1 -1- 3 est «n 

 diviseur de c"*"*~* — 1 et par consequent de c*"'*"*-!-^, ou de c*"~*~^ — 1. Soit c=2, la formule 

 c*""^* — 1 revient a la suivante 2.2*" — 1, qui ne peut jamais etre divisible par 8n-i-3, parce que 

 tous les diviseurs de la forme 2ff — 1 sont ou 8/1 -r- 1 , ou 8/1 — 1 , et jamais Sn -t- 3. Donc 

 2*"~*"*-»-l ou 2.2*"-t- 1 qui est de la forme aa~\~2bb^ scra necessairemcnt divisible par 8/1 -»-3. 



Apres cette digrcssion qui parait n'etre pas inutile, revenons a notre probleme. Nous avons 

 vu que la somme s doit avoir au moins trois facteurs, ainsi posons la egale a 



{aa -f- 266) (ce-4- 2dd) {ff-h- 2gg) 

 et, pour abreger le calcul, soit (aa-i-266) {cc-\-2dd) = mm-^2nn, alors nous aurons 



m = ac± 26(i, « = 6c zp ad. 

 De la notre somme s sera exprimee ainsi: s={mm-\-2nn) {ff-^-2gg)y que nous supposerons egale 

 a zz -I- 2w, et nous aurons pareillcment z = mfzt: 2ng et v = nfz^ mg. 



15. Substituons maintenant, au lieu de m et n, les valeurs trouvees, et nous aurons quatre 

 valeurs differentes pour z et v^^ savoir pour z: 



1) f{ac-\-2bd)-^2g{bc — ad), 



2) f {ac -»- 2bd) — 2g {bc — ad) , 



3) f{ac — 2bd) -f- 2g {bc -1- flrf) , • 



k) f{ac — 2bd) — 2g {bc -h ad) , 

 et pour c: 



i) f{bc — ad)^g{ac-h-2bd), 



2) f{bc — ad)-\-g{ac-\-2bd), 



3) f{bc-\-ad) —g («c — 26d), 



4) f{bc -^- ad) -\- g {ac -- 2bd). 



16. Voila donc quatre valeurs differentes de z et v. Mais comme il n'en faut que trois, a 

 cause des trois conditions s = pp-+-2xx, s = qq-\-2yy et « = rr-+-2zt, que nous avons a 



