mO L. EULERI OPERA POSTHUMA. Ariihmtica. 



remplir, nous ne prendrons que les trois premicres valeurs de z et c; nous trouverons ainsi 



f{ac-^2hd)-^-2g{hc~ ad)=p, 

 :^^n"^ f{ac -4- 2hd) — 2g {hc — ad) = q, 



^m /'{ac — ^hd^-i-^g^bc-i- ad) = r, . 



f{hc — ad) — g {ac-t- 2hd) = x , 



f{hc — ad) -^ g {ac -i- 2hd) = y j 



f{hc-i- ad) — g {ac — 2hd) = z. 



17. Cherchons a present, par le moyen des valeurs £c, j, z, la somme de ieurs carres qui 

 aura cette forme Aff -^ Bgg -^ 2Cfg , ou 



A=^hhcc — 2ahcd -\- "iaadd y . 

 B = 3aacc -+- kahcd -+- 1266dfd, 



(7= •— (6c -f- ad) {ac — 2hd). 



La difference entre cette expression de la somme s et sa valeur precedente 

 s = {aa-^2hh){cc-*-2dd){ff-^2gg) 

 = ff{aacc -i- 2hhcc -t- 2aadd -i- khhdd) h- 2gg {aacc -+- 266cc h- 2aadd -+- khhdd) 



nous conduit a requation »'f' ''' *' 



--'- ^ Fff-^ Ggg^2Cfg = 0, ou 

 F = hhcc — 2ahcd -+- aadd — aacc — khhdd , 

 G = aacc -+- kahcd h- khhdd — ^*66cc — kaadd, 



C = ^{hc-\-ad){ac — 2hd). 



Nous voila donc parvenus a la solution de notre probleme; car il ne s'agit plus, dans Tequation 

 Fff -t- Ggg -i- 2Cfg = f qui renferme les six lettres a, 6, c, d, f, g, que de trouver des valeurs 

 convenables pour les six lettres, afin de salisfaire a notre egahte, et de la nous trouverons x, j, z, 

 comme aussi p, q, r. 



18. Etant donc arrive a regalite Fff-t- Ggg -i-2Cfg = 0, qui donne 



f —C±:ViCC — FG) ; 'jn - vt(^- 



7 = ^ ' 



11 faudrait chercher de telles valeurs pour a, h, c, d, f, g, que CC — FG devienne un carre. 



Mais cela nous conduirait a de tres grandes difficultes, que nous voudrious eviter. Heureusement 



nous sommes tombes sur un cas, ou l'equation Fff-\-Ggg-\-2Cfg = Q se reduit facilement au 



f c 



premier degre, savoir quand F est egal a 0; alors on a Ggg -i- 2Cfg = , ou bien — = x^» 



Ainsi , en reduisant — -^ aux plus petits termes , si Ton prend le num^rateur pour f et le d^no- 

 minateur pour g , toutes les formules trouvees ci-dessus seront exprimees en nombres rationels. 

 Cest en quoi consiste le m^rite de cette methode. 



19. Remarquons maintenant que la valeur 66cc — 2ahcd-\-aadd — aacc — khhdd, trouv^e 

 pour F, peut etre exprimee comme produit de deux facteurs de la maniere suivante: 



F=\{h-^a)c-^{a-^2h)d\ ^(6 — a) c -f- (a— 26) rf^. 



