Problema Dtophanteum: 111 



Ainsi on pourra <^galer a z6ro ou Tun ou Tautre de ccs deux facteurs, pour que F devienne z6ro. 

 Du premier on tire '- = '^ j du second 4-=-r— -• H J aura donc une double determi- 



* o b-i-a d b — a •' 



nation pour les lettres c et d, par consequent aussi une double solution du probl^me. 



I +' . T 1 . 



20. De la m^me mani^re nous pourrions faire ^vanouir la valeur de G, et puisqu'elle est 



6gale a aacc -*- kabcd -h- kbbdd — kbbcc — kaaddy ce qui est le produit de ces deux facteurs 



(a-+-26)c— (26-H2a)df, (a — 26) c — (26 — 2a) d, 



nous aurons, pour la d^termination de c et d, requation — = "^^° ? ou 4- = — — j^* W^is ces valeurs 



■ ' * d a-»-26 d a— 26 



ne conduiraient pas a des solutions nouvelles; ainsi il sufQra de nous en tenir aux valeurs tir^es 

 de F=0. 



21. Voila donc une solution assez simple du problime propose, et qui foumira en meme temps 

 une infinite de solutions particulieres. Pour cela, il n'y aura qua suivre les r^gles suivantes: 



1) Apris avoir pris a volonte les deux nombres a et 6, cherchons les valeurs de c et d par 

 Tune ou Tautre de ces deux formules — = ~°~ , ou — = ~° ? puisque chacune conduira a une 



d b-t-a d b — a ^ * 



solution. 



2) Gherchons ensuite les valeurs de C et (? d'apres les formules 



C = — (6c -+- ad) {ac — 2bd), 

 G = (aa — kbb) cc h- (^^66 — kaa) dd -♦- kabcd , 

 et nous aurons 



f (aa — 4bb) cc-t-4 (bb — aa) dd-i-4abcd ^ , 



y" 2(6c-i-ad)(ac — 2M) ' '' 



c'est-a-dire, aprfes avoir r^duit cette fractiou a ses plus petits termes, il faudra prendre f egal au 

 numerateur, et g au denomiuateur. 



3) Ayant ainsi trouve les valeurs de fetg, on aura immediatement celles de x, y, z par 



les formules 



X = f{bc — ad) — g (ac-*- 2bd) , 



y = f{bc — ad) -i- g {ac -i- 2bd) , 

 z=f{bc-i-ad) — g {ac — 26rf), 

 qui sont les racines des trois nombres cherches. 



k) Enfin les lettres p, q, r se trouveront aussi dapr^s ces formules 



p = f{ac -fr- 26rf) -f- 2g {bc — ad) , 

 q = f{ac -*- 26d) — 2g {bc — ad) , 

 r = f{ac — 2bd) -t- 2g {bc -t- ad). 

 Eclaircissons ces r^gles par quelques exemples.-f.t^ 



Exemple 1. Soit a=i et 6=1, alors — sera egale, dans le premier cas, a — ^) et dans 

 le second a — > ce qui ne conduit a rien. Ainsi supposons c = 3 et d = — 2; — sera = — j^h 

 soit /*= 51 ety = -^H. Alors 



