tU L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



Troisieme methode. 

 26. x4yant pose, comrae dans la preraiere raethode, la somme des trois carres cherches 

 s = (aa -i- 2bb) {cc -t- 2dd) {ff -t~ 2gg) , je supposerai le premier facteur aa-¥~2bb resoluble de 

 deux manicres differentes en un carre plus le double d'un carre, savoir a« -i- 2/9/? = aa -f- 266. 

 Prenons la premiere forme aa -*- 266 pour la determination des lettres a?, y, />, q, comrae nous 

 Tavons deja fait (16), et la derniere ua-^ 2/3/3 pour la deterraination de z et r, en sorte que 

 X = f{bc — ad) — .9 {ac -t- 2bd) , p=f{ac-\- 2bd) -^2g {bc — ad) , 



y = f{bc — ad) -i- g {ac -h- 2bd) , q = f {ac -*- 2bd) — 2^ (6c — ad), 



z = f{^c -v-ad) — g {ac — 2/id) , r = f{ac — 2,3d) -+- 2g {/3c -h ud). 



Tirant de la la sorame des trois carres xx-\-yy -^ zz = s, nous aurons cette formule 



s = Aff^Bgg^2Cfg, oix 

 A = 2bbcc — hahcd h- 2aadd -i- i3^cc -h 2u/3cd -h- auddy 

 B = 2aacc -i- 8a6cc? -t- Sbbdd -k- aucc — ka/3cd -i- k/3^dd, 

 C = {ac — 2/3d) {/3c -H ad). 

 Soit de plus D = (aa-i-26^) (cc -i-2dd) = aacc-i-266cc-i-2aaddH-'i-66dci; 



nous aurons s=z{aa-h- 266) {cc -t- 2dd) {ff-t- 2gg) = Dff-h- 2Dgg. 



Retranchant cette valeur de s de la formule Aff-t-Bgg — 2Cfg, nous obtiendrons Tequation 

 ^^^^ Fff-t-Ggg-^2Cfg = 0, oii F = A-D, G = fi-2D. 



et par consequent F = {/3/3 — aa) cc -t- {au — kbb) dd — kabcd -v- 2a/?cd, 



G = {au — 4-66) cc -H 8a6cd — ha^ cd-^h (/9/9 — aa)dd, 



valeurs qui peuvent etre reprcsentees ainsi qa'il suit: 



F = {{,S -*- a) c -I- (« -H 26) d) ((/? — a) c -f- (« — 26) d) , 

 G = {{u -t- 2b)c — 2 iS -t- a) d) {{a-^2b)c-^2{/3—a)d). 



xueb 27. D'apr^s ces equations il est evidcnt quon rendra F=0, en posant 



d pn-o p — a 



Ci ii !)JtlO»|<jn- ^ g 



Alors notre equation deviendra Ggg — 2Cfg=0, d'ou — = — • Cette formule est assez compliquee 

 a cause de la valeur de G, mais ncfus la rendrons plus siraple, en remarquant que F etant ^gal a 

 zero, la quantit^ G peut etre remplacee par 2F-t-Gj et cette quantite, d'apres les equations pre- 

 cedentes, est egale a 



(2 (/5,(? — aa) -t-aa — hbb) {cc -t- 2dd) = —{aa-¥- 266) {cc -t- 2dd) ; 



f (aa-4-2&6)(cc-+-2dd) 



par consequent . . ;. — = — ^. q^.,,^ — -—: » 



r T g 2 (ac — 2j3d) (/3c -H ad) 



d'ou il suit f= {aa -t- 266) {cc -*- 2dd) ; ^r = — . 2 («c — 2,3d) (^c -t- ud). 



28. Si i'on Toulait substituer ces valeurs de c, d, f, g dans les formules finales de x, y, z 

 et /), q, r, elles deviendraient assez compliqu^es. Mais on peut en tirer une r^gle tr^s simple 

 pour trouver les nombres x, y, z et p, q, r. , »«» * 



C I .! i , 



