Prohlema Diophanfeum. ' 115 



Reg^le ,1 



pour trouver autant de solutions qu'on Toudra de notre probleme. 



29. Ayant pris a volonl^ deux nombrcs in et /i, dont m doit t^tre impair, qu'on en tire ces 

 trois quantit^s s = mm-+-2nn, t=zmm — 2nn et M = 2mn; ceia pose, les valeurs des six lettrcs 

 Xy yy z; p, q el r seront 



X = s {s -^ u) {3s -i- Vm) — 2« {s -+- 2a), p = st (3* -+- 4«) -h 4f (5 -f- u) {s -+- 2«), 



y = s {s -^ u) {3s -k- ^u) -^ 2tt {s -f- 2u) y q = st {3s n- ^m) — 4( (5 -+- u) {s h- 2a), 



z = st (35 -I- ^m) -\-2t{s-+- 2m)* r = * (* h- 2m) (3* -+- ku) - ktt {s -t- 2u). 



30. En consideranl ces six formules, on voit de suite qu'elles ne donnent point de solutions 

 differentes de notre probleme, soit quon prenne t positif ou negatif; puisque le changement de t 

 en — t ne fait que changer les signes de z, p et 9. Mais si lon prend u negatif, ces formules 

 subiront un grand changement. Dou Ton voit que chaque paire des nombres m et n donnera 

 deux solutions differentes, selon qu'on prendra m et n positivement ou negativement. En voici des 

 applications. 



Exemple i. Soit w = l et /i = z±:i; alors 5=3, <=i, « = i±:2. Soit premierement 

 u = — 2, nous aurons 5-1-«= 1, 5 -t- 2a = — 1, 35-+-!ia = l et, par consequent, 

 a? = 3.1.i-+-2 = 5, /)= 3 — i^ = — i, 



y= 3 —2 = 1, q= 3-*-4 = 7, 



2= 3 -4-2 = 5, /•== — 3-+-^ = l. 



Mais ici deux des nombres cherches sont egaux, cest pourquoi cette solution ne saurait etre admise, 

 Si Ton prend « = 2, alors 5 -1- « = 5, 5 -*- 2a = 7, 35 -t- ^a = 17 et, par consequent, 

 a; = 3.5.i7— 2.7 =2Jil, /)= 3.17 -f-4.5.7= 191, 



y = 3.5.17-f- 2.7 =269, q= 3.17 —4.5.7 = — 89, 



z= 3.17 -4-2.49 = U9, r = 3.7.17— 4.7 = 329. 



Exemple 2. Soit, dans cet exemple, in=l, n = 2; alors 5 = 9, t = — 7, u=zt:hr. PirenoDS 

 premierement « = — 4 ; on aura 5-4-a = 5, 5-i-2a=l, 35 -+-4« =11 et enlin 



x= 9.5.11—98= 397, /) = — 9 7 11 — 4.7.5.1 = — 833, 



y= 9.5.11-*- 98= 593, 9 = — 9.7.11 -1- 4.7.5. 1 = — 553, 



z = — 7.9.11— 2.7= — 707, r= 9.1.11—4.7.7.1=— 97. 



Soit, pour le second cas, u = 4, alors s-*-u= 13, 5-i-2u=17, 35-t-4a = 43 et, par consequcnt, 



x= 9.13.43-98.17= 3365, /> = — 7.9.43— 4.7. 13.17 = — 8897, 



y= 9.13.43-f- 98.17= 6697, g = — 7.9.43 -h 4.7. 13.17= 3479, 



z= — 7.9 43 — 2.7.17'= — 6755, r= 9 17.43— 4.7M7 = 3247. 



Demonstration 



A de la regle precedente. 



31. Posons aa -f- 266 = aa-*- 2/3/3 = 5, aa — 2b/3 = t ei a/3-+-ba = o; on aura ss = «-4-2««. 

 Prenons les valeurs trouvees ci-dessus (27) de c et d, savoir c = — « — 26, d = /3 -^a. Pour 



