116 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Artthmetica. 



ce qui concerne les deux autres, elles derivent de celles-ci en prenant a et 6 negatives. On aura 

 cc-*-2dd = 3s-+-hu, ac H-26d = — t, ac - 2/5(1 = — - (5 -+- 2«) , bc — ad = — («H-a), et 

 /3c-+-ad = t, et enfin , dapres (27) , f= s {2s -+- hu) et g = 2t{s-+- 2«). 



32. Substituons maintenant ces valeurs dans les formules rapportees ci-dessus (26); nous trou- 

 verons les expressions suivantes : 



X = s (s -+- u) {'Hs -+- ku) — 2tt (s -+- 2u) , 



y = s {s -i- u) {3s -+- ku) -+- 2tt {s -*- 2a), . — x 



z = st {3s -t- ku) -i- 21 {s -I- 2^)"" , 

 p z= st {3s ~+- 4«) -+-kt{s -+- u) {s -+- 2«), 

 qz= st {3s -+- ku) — kt {s-+- u) (5 -+- 2«), 

 r = s{3s-\- ku) {s -+- 2u) — ktt {s -+- 2a), 

 qui ont ete rapportees dans la regle. 



33. Enfin, puisque les trois lettres 5, t, u ne sont assujetties qu'a verifier lequation ss=tt-^2u, 

 on n*a qua trouver les nombres s, t, a qui remplissent cette condilion; alors les formules precedentes 

 donneront immediatement les valeurs des nombres cherches. Quant a celles de s, t, u, qui remplissent 

 la condition 55 = «-f-2aa, voici les plus simples: 



i 3 9 17 19 27 33 33 ki 43 

 I 1 7 1 17 23 17 31 23 7 



u 2 k \2 6 10 20 8 24 30. I 



Quatrieme methode. 

 3V. Nous avons vu, au commencement du Memoire, que les equations 



yy-i~zz — xx=pp, zz-+-xx — yy =.qq 

 seront satisfaites, si Ton prend 



z = aa-+-bb, yy — xx = kab{aa — 66), p =aa~\-2ab — 66, q = aa — 2a6 — 66; 



dou il est facile de remarquer que ces equations seront verifiees, si nous supposons 



z = mn {aa -+-bb), yy-r- xx = kmmnn {aa — 66) 

 et p = mn {aa -+- 2ab — 66) , q = mn {aa — 2a6 — 66). ' 



II ne restera donc qua remplir la troisieme condition de notre probleme, savoir: xx-t-yy — zz = rr. 



35. Maintenant, pour que les trois nombres x, y, z naient point de facteur commun, prenons 

 y-+-x = 2mma (a -+- 6) et y — x = 2nnb (a • — 6) ; pour abreger rexpression , soit aa-+-ab = A et 

 a6 — bb = B, de sorte que j--i-a;=2mw^ et y — x=2nnB; par cons^quent, puisque A — B=aa-+-bby 

 nous trouverons z = mn{A — B). La somme des carres de y-+-x et y — x nous donne 



2yy-+-2xx=km*AA-+-kn*BB', donc yy-t-ocx=2m*AA-i-2n*BB; 



retranchant de la la valeur de zz, on trouve cette expression pour rr 



rr = 2m* AA -+- 2n* BB — mm nn {A — B)\ 



36. Pour rendre cette formule plus traitable, supposous m = f-v-g, n = f — g; de^la on 

 obtiendra rr = af*-^^f*g-k-yffgg-^(3fg^-+-ug*, ou 



