Probiema Diophanteum. ' 117 



a = 24 A -f- 2BB — {A— Bf= (A -+- B)\ 

 jS^SAA — SBB, 

 y= y2{AA-\-BB)~^2{A — B)\ 

 En substituant ces valeurs de «, ^, y dans requation precedcnte, nous aurons 



rr={A-^ fi)Y*-+- 8 {AA — BB) Pg -*- [12 {AA -hBB)-^2{A — B)^] ffgg 

 -¥-%{AA—BB)fg^-^{A-^Bfg\ 



37. Pour ramener a present cette formule a un carre, supposons que sa racinc soit 



r={A^B)ff^h{A-B)fg^{A-^B)gg, 



d, . .1 .. ,C(5c 



ou ll SUlt 



rr = {A-^ Bfr^ 8 {AA — BB) fg — 2 {A -+- Bfffgg -h 16 (^ — Bfffgg 



— 8{AA — BB) fg'-^ {A -t- B)^g\ 



Retranchant de cette expression la precedente nous obtiendrons 



= Z2ABffg-^i(i{4A — BB)fg\ 



,, , ,, ^. f AA-BB 



doulontire _ = ___ 



et, par consequent, f =z AA — BB, 



g = — 2AB. 

 Cest ainsi qu'on trouvera les nombres f eX g d'apres les valeurs de ^^ et 5 qui sont determinees 

 par les equations A = aa-\-ahy B = ab — 66. Puis, on prendra m = f-\-g^ n = f — ^, et Ton 

 aura les valeurs de Xy j, z, p, q, qui, dapres les equations precedentes, sont 



x = mmA — nnB, y = mmA-t-nnBf z = mn{A — B), 

 p = mn {aa -t- 2ab — 66) , q = mn {aa — 2ab — 66). 

 Quant a r, nous avons eu 



r = {A-*-B)ff-^k{A-B)fg-{A-^B)gg, 

 et cette equation, a cause de m = f-^gy n = f — g, devient 



r = mn {A -^ B) -+- {mm — nn) {A — B). 



Donc, il est aise de developper les valeurs de x, y, z et />, q, r pour chaque valeur des 

 lettres a et 6. 



38. Voici la maniere de sy prendre pour trouver autant de solutions qu'on voudra. Apres 

 avoir pris a volonte a et 6, on formera A = aa-^ahy B = ah — 66, puis f=AA — BB et 

 g = — 2ABy de la m = f-\-gy n=f — g. Ainsi, ayant determine ces valeurs, les nombres 

 cherches seront donnes par les formules suivantes: 



x = mmA — nnB, p = mn{au-^2ah — 66), 



y = mmA -f- nnBy q = mn {aa — 2ah — 66) , 



z = mn{A — B), r = mn {A -*- B) -^ {mm — nn){A — B). 

 Rapportons ici quelques exemples. 



Exemple 1. Soit a=i, 6 = 2; nous aurons A = 3, B = — 2; de la /"=5, g=i2y 

 m=17, 71 = — 7, enfin les nombres cherches seront: 



