Problema Dtophanteum, 119 



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Recherelieis siir le probli^iiie <le quatre nombres positifs et en 

 proportion aritiiiii^ti^iiie tels, qiie la soniine de deiix quel- 

 conqiieis soit toidoiirs un nombre carr6. 



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(Exhib. 1781 April. 23. 



i. Soient /;/, B, C, D les quatre nonibres cherches, disposes selon Tordre de grandeur, 



en sorte que /4 soit le plus petit et D le plus g^rand. Les six conditions a remplir seront:^.^jj ^^^^^^ 



A-^B^pp, A-^C=:qq, J-^D — rr^B^Cy, B-*-D = ss, C-+-D = tt, j^ j^ 



de la 2rr = pp -\- U = qq -\- ss y et enfln les quatre nombres cherches seront exprimes par les 



quantites />/>, qq, rr de la maniere suivante: noiJibnoD bI ^^umh Inp so 



2A =Pp-*-qq — rr , 2B = pp -*- rr — qq, 

 2C=qq-\-rr — p/), 2D = 3rr — pp — qq. 



Le nombre A etant positif, il faut que pp-^qq"^ rr\ quant aux nombres By C, D, ils seront de 

 meme positifs d'apres la condition 2rr = pp -*- tt = qq -i- ss y s\ Ton prend p < «, q<Cs, ce qui 

 doit avoir lieu dapres les expressions precedentes de />/), qq, tt, ss, ou, par hypothese, 



A <B<C<D. 

 2. De plus, on voit que r doit etre egale a la sorame de deux carres; ainsi soit r = xx-\-yy, 

 nous aurons rr = {xx — J^")*-*- (2ccy)^, et par consequent 



2rr = (dt [xx — yy) — 2ary)*-+- {± (xx — yy) -i- 2ary)*. 

 De la il est facile de prevoir que Tegalite 2rr = pp-*-tt, ainsi que la condition p<t sera remplie, 



si Ton prend 



/) = =t {xx — yy) — 2xy, t = z*z {xx — yy) h- 2a;j, 



ou nous admettrons celui des deux signes zb qui rend xx — yy positif. 



De mcme, pour les nombrcs q, s, verifiant les conditions »oi (.ilmkl li uo 



2rr = qq-\-ss, q<s, 

 nous trouvons ces expressions ''V""**^"'^* ^ 



7 = dr {x'x'—y'y) ~ 2xy', s = ± {x'x' — y'/) -4- 2x'/, '*"* *»»<«^»»«n'»., 



en admettant pour r cette autre dccomposition en deux carres xx'-t-y'y'. 



Ayant p = zt {ocx — yy) — 2xy, r = xx-\-yy, nous en tirons 



pp = {xx — yy)* =p ^xy {xx — yy) -f- hxxyy = {xx-\- yyYz^ hxy {xx — yy) = rrq;i hxy {xx — yy). 



De meme, les equations q = -±:{x'x' — //) — 2xy, r = x'x-t-yy' nous donnent 



qq =z rr zfi hx y {x X — y yj* 



