120 L. EULERI OPERA POSTHUMA. Arithmetica. 



Dapr^s ces valeurs de pjo, qq, la condition pp-i-qq "^rr devient 



rr >- zt: kxy {xx — yy) ± \x y {x x — yy') , 

 ou des deux doubles signes dh nous admettons ceux qui rendcnt xx — yy^ xx — y'y positifs. 



3. Puisque r doit etre la somme de deux carres de deux manieres differentes, 11 doit etre le 

 produit de deux facteurs de cette meme forme. Posons donc r = (aa -+-66) (cc-i-dd), ou nous supposerons 

 fl>6, c>d. Pour diminuer le nombre des lettres, soit^ = /*, ^ = z, f et z etant des quanlites 

 qui surpassent 1: on aura r = bbdd (ff -t- i) {zz -\- \) , ou nous pouvons supprimer le facteur carr^ 

 bbdd qui sera commun a tous les termes de rinegalite que nous aurons a considerer. Ainsi nous 

 aurons r = (/f-i- 1) (ir -+- 1), 



doii, pour les valeurs de £c, y, x\ y\ verifiant les conditions 



r = XX -t-yy, r = x'x' -\-y y\ 

 nous tirons x — fz-\-\, x' =fz — i,j = z — /*, y z=zz-\-f, 



et de la xy {xx — yy) = {fz~^ \){z — f) {{f-^ i) z — f-\-\) {{f^ i) z-+-f-^i) = M, 

 ?M l«q :^'y'{x'x'^y'/)= (A — i) (r H-/*) {[f-\-\)z-^f— \) {{f--\) z-f-^\) = N, 



ce qui change la condition 



rr > zt kxy {xx — yy) ± hx'y {x x — y y) 

 dans la suivante : rr'^^ \M zt: 4 iV, 



ici, comme plus haut, on gardera ceux des deux doubles signes =±: qui rendent dzMet ztiVpositifs. 



h. Pour que ces formules soient plus commodes, soit -^ = C» Q ^tant, ainsi que /*, une 

 quantite plus grande que runite. Introduisant cette quantite dans les valeurs de .,a > ,, .^^ ? 



tirees des equations precedentes, nous aurons 



^, = (/z-+-1)(r-n((>^-l)(^-+-(>) = ^, 



iS- 1) 



/iiiqffloT lsi9e.J><\ Boiii o^^Tip = ^f^ — (^ -»" f) (Q^ -^ ^) i^ — Q) =" Qy 

 de sorte que la condition a remplir sera 



^>^{±P^Q), 



ou il faudra toujours prendre les signes de maniere a rendre dzPy dzQ positifs. 



5. En considerant ces formules, on doit remarquer d'abord que les deux lettres f et q sont 

 permutables entre elles, puisquen les remplacant Tune par lautre, la valeur P se change en j2, et 

 reciproquement. En effet, ayant ()=^^— ? on aura aussi /*=^^, de mani^re que Tnne se 

 determine par Tautre de la meme facon; puis, ces deux lettres se determinent reciproquement rune 

 par Tautre par cette egalite f{) — q — /*= 1, ou bien {f — I) {q — 1) = 2. 



Observons ici que, dans le cas ou f=Qt on a f — i=Q — i=V2, et par consequent 

 f=Q= 1 -•-1/2; dans tous les autres cas, Tune sera plus petite et lautre surpassera ce nombre. 



