Prohlema Dwphanteum. Kl .J |21 



Ainsi supposant (> > /*, nous aurons f<i-h-V2, (>> 1 -t-V^. Quant au cas /*= I, la valeur 

 de () devicnt inQniment grande. 



6. Ayant pose r = {ff-^ 1) (zz -t- 1), on aura rr = {ff-h- !)* (zz -f- i)* et de la 



rr _ OyH-t)'(*g-«-l)' ^ 

 (r-i)* (r— 1)* ' <'rt i<5ilifi .•titHifMy 



Or comme 7^ = ^^3T' on obtiendra donc jl ^^^^ 



(/y-t-i)'^^^^-!-!)' _ 0y-4-i)(()p-Hi) . .2 



(r-1)* (f-l)^ (/-_!) (p_l) 



ce qui donne ^^^ = | (fl^-f- 1) {qq -4- 1) (zz -f- 1)^ 



la valeur du produit {f — i) {q — 1) etant egale a 2, comme nous lavons vu. Substituant cette 

 expression de . ^ dans l*inegalite precedente, nous trouverons que la condition a remplir sera 



la suivante {ff-t- 1) {QQ-h-\) {zz -f- l)^ > 8 (± P =ti 0. 



7. Developpant les valeurs des lettres P et Q, nous aurons 



P = f(,z'H-{fQ-t-l)(s — f)z'—(ff(>(>->-i—{Q-ff)zz — (fe^t){(; — f)z-i-fe, 



Q=f(,z'-(f(,-Hl)(Q-f)z'-{ffQQ-Hl-{Q-ff)zZ-*-(fQ-*-i){g-f)z^fQ, 



ou le coefficient de zz peut se reduire a une forme tres simple; en effet, puisque 



ce coefficient s'ecrira ainsi: ffQQ-*- 1 -i- kfQ — ((>-i-/*)\ Mais nous avons vu (5) que Q-¥-f=fQ — i; 

 donc {Q-\-fY=ffQQ — 2/()-f-l, par consequent, ce coefficient se reduit a cette forme tres simple 

 6/(>. Ainsi nous aurons 



P = fQz'-^{fQ-^i){Q-^f)z'-QfQZZ-^{fQ-h-i){Q-f)z-^fQ, 

 Q = fQz'-{fQ-i^i){Q-f)z'—GfQZZ-^{fQ-*-i){Q-f)z-^fQ. 



8. Les valeurs de P et Q etant determinees par ces cquations, nous aurons a remplir cette 

 condition {ff-t- i) {qq -t- i) {zz -f- i)^> 8 (=t P dz ; 



de cette maniere nous sommes conduits au probleme suivant: 



9. Probleme. Le nombre f, et par consequent aussi q, etant donnes, Irouver toutes les 

 valeurs de la lettre z qui puissent remplir la condition mentionnee. 



C est par la quon parviendra a une solution complete du probleme principal, attendu que la 

 lettre /*=— donnera les nombres a et 6, et 2 = -^- pareillement c et d, desquels on tirera ensuite 

 ^> y» ^» y qui conduiront aux valeurs de />, 9, r et enfin a celles de Ay B, C, D. 



iO. Solution. Commcncons par observer que les valeurs convenables de 2 sont comprises 

 entre certaines limites, tantot plus et tantot moins etroites, selon la valeur du nombre f qui est 

 toujours plus grande que 1 et moindre que i-f-V2, ou bicn, selon la valeur de q=j——, qui 

 surpasse toujours i -f- 1/2. Ces limites peuvent etre facilemcnt assignces, lorsqu'on connait les cas 

 dans lesquels le premier mcmbre de notre formule devient cgal a Tautre, ou lorsqu'on connait les 

 racines de Tcquation (ff-i-i) ((>()-f-l) (zz-f-i)*= 8 (ztPzt j2), eu ne tenant compte que de celles 

 qui surpassent runitc ; car nous supposons z > 1 . 



h. Eoleri Op. poMhanu. T. 1. 16 



